Continuité et variations/Langage de la continuité

Définition de la continuité

• Cette situation s'oppose à la suivante : une fonction f est discontinue en un point a si la courbe de f présente une "coupure" en x=a qui oblige à "lever le crayon" pour parcourir la courbe.

Continuité des fonctions usuelles

La dérivabilité est un critère utile de continuité pour les fonctions usuelles.

Remarque:

• La réciproque est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0 mais non dérivable en 0.

Modèle:Théorème

Exemple

La fonction inverse est continue sur $]-\mathrm{\infty };0[$ et est continue sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Mais elle n’est pas continue sur $ℝ$ car non définie sur $ℝ$ tout entier.

De plus, cela n'a pas de sens pour nous de se demander si elle est continue sur $]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$

car on n'a défini la continuité que sur un intervalle.

La fonction partie entière

Elle est continue en tout point non entier et discontinue en tout point entier.