Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis

Problème 1

a) Soient $X$ un ensemble et $Y$ une partie de $X.$ (On ne suppose pas que $X$ ou $Y$ soit fini.) Prouver que le groupe $S_Y$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_X.$ Modèle:Clr Modèle:Solution b) Soient $r,n$ des nombres naturels tels que $r\le n.$ Prouver que $S_r$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_n.$ Modèle:Solution c) Soient $a,b$ des nombres naturels. Prouver que $S_{a+b}$ contient un sous-groupe isomorphe au produit direct $S_a\times S_b$. Modèle:Solution

Problème 2

Soit E un ensemble d'au moins trois éléments. Prouver que le centre du groupe $S_E$ est réduit à l'élément neutre. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

Soit n un nombre naturel. Pour toute permutation $\phi$ de $\{1,2,\dots ,n\}$, désignons par $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\phi )$ l’ensemble des inversions de $\phi$ et par $\tilde{\phi }$ la permutation $\{i,j\}\mapsto \{\phi (i),\phi (j)\}$ de l’ensemble des paires d'éléments de $\{1,2,\dots ,n\}$.
Soient $\sigma$ et $\tau$ deux permutations de $\{1,2,\dots ,n\}$.
Prouver la relation $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma \circ \tau ))=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma ))+\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\tau ))-2\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\tau )\cap {\tilde{\tau }}^{-1}(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{v}(\sigma )))$. (Il en résulte évidemment que le nombre d'inversions de $\sigma \circ \tau$ est congru modulo 2 à la somme des nombres d'inversions de $\sigma$ et de $\tau$, fait utilisé dans la théorie.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 4

Soit X un ensemble fini, soit $\gamma$ un cycle dans $S_X$, soient $\lambda$ et $\mu$ des permutations de X à supports mutuellement disjoints telles que

$\gamma =\lambda \mu .$

Prouver qu'une des deux permutations $\lambda$, $\mu$ est égale à $\gamma$ et l'autre à la permutation identique de X. (C'est une sorte d' « irréductibilité » des cycles.)

Problème 5

Soient X un ensemble et Y une partie de X, soient $\alpha$ et $\beta$ des permutations de X coïncidant en tout point de Y. Prouver que

$\beta =\alpha \nu$,

où $\nu$ est une permutation de X à support disjoint de Y.

Problème 6 (Centralisateur d'un cycle)

a) Soient X un ensemble et $\gamma$ un cycle dans $S_X$. Prouver que le centralisateur de $\gamma$ dans $S_X$ est formé par les éléments de $S_X$ de la forme $\mu \nu$, où $\mu$ parcourt les puissances de $\gamma$ et où $\nu$ parcourt les permutations de X dont le support est disjoint de celui de $\gamma .$

b) (Centralisateur d'un long cycle.)
Soit $n$ un nombre naturel > 1, soit X un ensemble de cardinal $n$ ou $n+1$, soit $\gamma$ un $n$-cycle dans $S_X.$ Prouver que le centralisateur de $\gamma$ dans $S_X$ est le sous-groupe $⟨\gamma ⟩$ de $S_X$ engendré par $\gamma .$

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. La dénomination « Centralisateur d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du point b) n'est pas standard.

Problème 7

Soit X un ensemble fini, soient ${\gamma }_1$ et ${\gamma }_2$ des cycles dans $S_X$, commutant l'un avec l'autre. Prouver qu'alors ou bien les supports de ${\gamma }_1$ et de ${\gamma }_2$ sont disjoints ou bien ${\gamma }_1$ et ${\gamma }_2$ sont puissances l'un de l'autre.

Problème 8 (Inverseurs d'un long cycle)

Soit $n$ un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal $n$ ou $n+1$, soit $\gamma$ un $n$-cycle dans $S_X$, soit $\lambda$ un élément de $S_X$ tel que

$\lambda \gamma {\lambda }^{-1}={\gamma }^{-1}$.

Prouver que $\lambda$ est le produit de $(n-1)/2$ transpositions à supports disjoints (et est donc une involution).
(Indication : on peut utiliser le problème « Centralisateur d'un cycle ».)

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarques. 1° L'énoncé montre que si $n$ est impair, la signature des inverseurs de $\gamma$ est déterminée par $n$ : les inverseurs de $\gamma$ sont des permutations paires si $n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ et des permutations impaires si $n\equiv -1(\mathrm{mod}4).$ Il n'en est pas de même si $n$ est pair. Par exemple, le cycle $(123456)$ est inversé par conjugaison par $(16)(25)(34)$, qui est une permutation impaire, mais aussi par $(26)(35)$, qui est une permutation paire. Le fait que, pour $n$ impair, la signature des inverseurs de $\gamma$ est déterminée par $n$ nous servira dans un exercice de la série « Premiers résultats sur les groupes simples » : si $p$ est un nombre premier tel qu'il existe un groupe simple d'ordre $2p(p+1)$, alors $p\equiv 5(\mathrm{mod}24).$
2° La dénomination « Inverseurs d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du présent problème n'est pas standard.

Problème 9

Soit $n$ un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal $2n$ ou $2n+1$, soient $\gamma =(x_1\dots x_n)$ et $\delta =(y_1\dots y_n)$ deux n-cycles à supports disjoints dans $S_X$, soit $\sigma$ un élément d'ordre 2 (involution) de $S_X$ qui commute avec $\gamma \delta .$ Prouver que $\sigma$ est le produit de $n$ transpositions à supports deux à deux disjoints.
Indication. On peut utiliser le problème « Centralisateur d'un long cycle » ci-dessus.

Modèle:Solution Remarques. 1° Faisons toutes les hypothèses de l'énoncé sauf celle selon laquelle $\sigma$ est d'ordre 2. Si $(\sigma (x_1)\dots \sigma (x_n))=(y_1\dots y_n)$ et $(\sigma (y_1)\dots \sigma (y_n))=(x_1\dots x_n)$, il n'en résulte pas forcément que $\sigma$ soit d'ordre 2. Prendre par exemple $n=3$ et $\sigma =(x_1{y}_1{x}_2{y}_2{x}_3{y}_3).$
2° Le présent problème nous servira dans un exercice de la série [[../Premiers résultats sur les groupes simples/|Premiers résultats sur les groupes simples]].

Problème 10

Dans le groupe SModèle:Ind, trouver le normalisateur du sous-groupe à deux éléments $⟨(12)(34)⟩$. Modèle:Solution

Problème 11

Démontrer que tout sous-groupe d'indice n de SModèle:Ind est isomorphe à SModèle:Ind. Modèle:Solution

Problème 12 (Automorphismes de SModèle:Ind)

Modèle:Wikipédia Soit φ un automorphisme de SModèle:Ind pour n (entier ≥ 2) différent de 6.

1. Notons TModèle:Ind (pour k > 0) l'ensemble des éléments de SModèle:Ind composés de k transpositions de supports disjoints. Montrer qu'il existe un entier j tel que φ(TModèle:Ind) = TModèle:Ind.
2. Calculer le cardinal de chaque TModèle:Ind et en déduire que j = 1 (donc pour i de 2 à n, φ((1 i)) est une transposition).
3. Montrer qu'il existe même une permutation σ ∈ SModèle:Ind telle que pour tout i de 2 à n, φ((1 i)) = (σ(1) σ(i)).
4. En déduire que l'automorphisme φ est [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Conjugaison|intérieur]].

Problème 13 (Le cas particulier SModèle:Ind)

1. Montrer que SModèle:Ind possède 6 sous-groupes d'ordre 5 et qu'il est isomorphe à un sous-groupe transitif de SModèle:Ind, où X désigne l'ensemble de ces 6 sous-groupes.
2. Soit K un sous-groupe transitif de SModèle:Ind d'indice 6 (il en existe d'après la question précédente) et Y l'ensemble des six classes à gauche de SModèle:Ind modulo K. Soit θ : SModèle:Ind → SModèle:Ind ≅ SModèle:Ind le morphisme représentant l'action par translation de SModèle:Ind sur Y. Montrer que θ est un automorphisme.
3. Montrer que le sous-groupe θ(K) de SModèle:Ind n'est pas transitif et en déduire que θ n'est pas intérieur.