Théorie des groupes/Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément

Problème 1

a) Soit G un groupe cyclique d'ordre $n$, soient $d$ et $d^{\prime }$ deux diviseurs naturels de $n$ tels que $d$ divise $d^{\prime }.$ D'après le chapitre théorique, G a un seul sous-groupe d'ordre $d$ et un seul sous-groupe d'ordre $d^{\prime }.$ Prouver que l'unique sous-groupe d'ordre $d$ de G est contenu dans l'unique sous-groupe d'ordre $d^{\prime }$ de G.

b) Soit G un groupe cyclique d'ordre $p^r$, où $p$ est un nombre premier et $r$ un nombre naturel. Prouver que l'ensemble des sous-groupes de G est totalement ordonné par inclusion.

Modèle:Clr Modèle:Solution Remarques. 1° On déduit facilement du point a) que si G est un groupe cyclique d'ordre $n$, l'ensemble des sous-groupes de G, ordonné par inclusion, est isomorphe (comme ensemble ordonné) à l'ensemble des diviseurs naturels de $n$, ordonné par la relation « divise ». Le point b) est un cas particuler de cette isomorphie.
2° Ce problème nous servira dans le chapitre [[../../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]].

Problème 2

Soient G un groupe, x et y deux éléments de G. Prouver que xy et yx ont le même ordre.

Indication : utiliser le fait que si l’ordre d'un élément z est fini, cet ordre est le plus petit nombre naturel n > 0 tel que zⁿ = 1.

Problème 3

Soient f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe H et x un élément de G. Montrer que l’ordre de f(x) divise celui de x. (On admet que la notion de divisibilité peut s'étendre aux cardinaux infinis, un cardinal a étant dit diviser un cardinal b s'il existe un cardinal c tel que ac = b.) Si, de plus, f est injectif, montrer que x et f(x) ont le même ordre.

Problème 4

Soient f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe H d'ordre fini a. Soit x un élément de G d'ordre fini premier avec a. Montrer que f(x) = 1.

Problème 5

a) Soient G un groupe, a et b deux entiers rationnels premiers entre eux. Prouver que si x est un élément de G tel que $x^a=1,$ x peut se mettre sous la forme $x=y^b$ avec $y\in G$, et que y peut être pris égal à une puissance de x.

b) Soit G un groupe fini d'ordre a, soit b un entier rationnel premier avec a. Prouver que l’application $x\mapsto x^b$ de G dans lui-même est une permutation de G (et, bien sûr, un automorphisme de G si G est commutatif).

Remarque : l'énoncé b) nous servira dans le chapitre [[../../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]].

Problème 6. Ordre du composé de deux éléments commutant entre eux

Soient G un groupe, a et b deux éléments de G, d'ordres finis r et s respectivement. On suppose que a et b commutent.

a) Prouver que l’ordre de ab est fini et divise le ppcm de r et s. Modèle:Clr Modèle:Solution

b) Montrer que l’ordre de ab n’est pas forcément égal à ppcm(r, s). Modèle:Clr Modèle:Solution

c) On suppose que ⟨a⟩ ⋂ ⟨b⟩ = 1 (où ⟨x⟩ désigne le sous-groupe de G engendré par l'élément x de G). Prouver que l’ordre de ab est égal à ppcm(r, s).

d) Dans le groupe des permutations de l’ensemble à trois éléments {1, 2, 3}, on considère la permutation (1 2) qui échange 1 et 2 (c'est-à-dire applique 1 sur 2 et 2 sur 1) et laisse 3 fixe ; on considère de même la permutation (2 3) qui échange 2 et 3 et laisse 1 fixe. Montrer que l’ordre de (1 2)(2 3) ne divise pas le ppcm des ordres de (1 2) et (2 3). (Ceci montre que l'énoncé du point a) devient faux si on en supprime l'hypothèse selon laquelle a et b commutent.)

e) Prouver que si r et s sont premiers entre eux, l’ordre de ab est rs.

f) Montrer qu'il existe deux entiers u et v tels que l'ordre de aModèle:ExpbModèle:Exp soit égal à ppcm(r, s). Modèle:Solution

g) Soient G un groupe, soit $n$ un nombre naturel non nul, soient $x$ et $y$ des éléments de G tels que

(i) $x$ et $y$ commutent entre eux;

(ii) les ordres de $x$ et de $y$ sont finis;

(iii) l'ordre de $x$ est divisible par $n$ et l'ordre de $y$ est premier avec $n$.

D'après le point a), $xy$ est d'ordre fini. Prouver que l'ordre de $xy$ est divisible par $n$. Modèle:Clr Modèle:Solution

h) Il résulte du point a) que si deux éléments d'un groupe commutent entre eux et sont d'ordres finis, leur composé est d'ordre fini. Puisqu'un élément et son inverse ont le même ordre (voir chapitre théorique), les éléments d'ordre fini d'un groupe abélien G forment donc un sous-groupe de G. Montrer que dans le groupe $GL(2,\mathbb{Q})$ (groupe multiplicatif des matrices carrées inversibles de taille 2 à coefficients dans $\mathbb{Q}$), les éléments

$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$

sont d'ordres finis mais que AB est d'ordre infini.

Problème 7

Prouver que tout groupe d'ordre 4 est commutatif.

Problème 8

Soient G un groupe fini et p un nombre premier.

a) Montrer que si H et K sont deux sous-groupes distincts d'ordre p de G, H et K ont une intersection triviale, c'est-à-dire que H ⋂ K = 1. Modèle:Solution

b) Montrer que le nombre des éléments d'ordre p de G est égal à n(p – 1), où n désigne le nombre des sous-groupes d'ordre p de G. Modèle:Solution Remarque. On trouvera une démonstration un peu différente et plus générale dans les exercices de la série [[../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]].

c) Donnez un exemple de [[../../Théorèmes de Sylow|p-groupe]] fini (c'est-à-dire de groupe d'ordre une puissance de p) qui contient exactement p + 1 sous-groupes d'ordre p. Modèle:Solution

Problème 9

Soient G un groupe cyclique d'ordre n noté multiplicativement, k un entier naturel et d le plus grand diviseur de k et n.

a) Montrer qu'un élément x de G est puissance k-ième dans G si et seulement s'il est puissance d-ième dans G.

b) Sous les hypothèses du point a), montrer que si un élément x de G est puissance k-ième dans G, les éléments y de G tels que y^k = x sont en nombre d. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 10 (Ordre d'une puissance)

Soit G un groupe, soit $x$ un élément d'ordre fini de G ; on notera cet ordre $|x|$.

a) Soit $r$ un nombre naturel. Prouver que l'ordre de $x^r$ est $|x|/\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(|x|,r).$

b) Soient r et s premiers entre eux tels que |x| = rs. Montrer que x s'écrit de façon unique ab avec a et b éléments de G qui commutent et d'ordres respectifs r et s.

(C'est en quelque sorte une réciproque forte de la question e du problème 6.) Modèle:Solution

Problème 11 (Ordre d'une racine)

Soit G un groupe. Pour tout élément $g$, on notera $|g|$ l'ordre de $g$. Soit $x$ un élément d'ordre fini de G, soit $d$ un nombre naturel dont tout diviseur premier divise $|x|$ (donc $d$ n'est pas nul), soit $y$ un élément de G tel que yModèle:Exp = x.

a) Prouver que $y$ est d'ordre $d|x|.$
Indication : on peut utiliser le problème « Ordre d'une puissance » et le théorème de Bézout. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Montrer par un exemple que l'énoncé du point a) cesse d’être exact si on supprime l'hypothèse selon laquelle tout facteur premier de $d$ divise l’ordre de $x$. Modèle:Clr Modèle:Solution Remarque. L'énoncé du point a) admet le cas particulier suivant (qui peut d'ailleurs se démontrer un peu plus simplement que le cas général) : soit G un groupe, soit $x$ un élément de G dont l'ordre est une puissance naturelle de nombre premier, soit $p^n$ cet ordre; soit $y$ un élément de G tel que $y^{p^f}=x$, $f$ étant un nombre naturel; alors l'ordre de $y$ est $p^{n+f}.$ Dans la suite du cours, on utilisera ce cas particulier sans référence.

Problème 12 (Sous-groupes à la fois maximaux et normaux)

a) Soit G un groupe, soit M un sous-groupe normal de G. Prouver que M est un sous-groupe maximal de G si et seulement si M est d'indice (fini) premier dans G. Modèle:Solution Remarque. On verra dans [[../Groupes alternés/|un exercice sur le chapitre Groupes alternés]] qu'un sous-groupe maximal (non normal) n'est pas forcément d'indice premier.

b) Désignons par $\mathbb{Q}$ le groupe additif des nombres rationnels (voir le chapitre [[../../Groupes, premières notions/]]). Prouver que $\mathbb{Q}$ n'a pas de sous-groupe maximal.

Indication : on peut utiliser le point a). Modèle:Solution

Remarques.

1. Le point b) sera rappelé dans le chapitre [[../../Sous-groupe de Frattini/]].
2. Un groupe abélien est sans sous-groupe maximal si et seulement s'il est divisible, notion qui sera peut-être définie un jour dans la présente leçon.

Problème 13

Soient p un nombre premier impair et G un groupe d'ordre p + 1 possédant un automorphisme d'ordre p. Montrer que tout élément de G différent du neutre est d'ordre 2. Modèle:Solution Remarque. [[../Groupes, premières notions#Problème 5 (Quand tous les carrés sont égaux à 1.)|G est alors abélien]] et c'est même un [[../../Groupes commutatifs finis, 1#Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels|2-groupe abélien élémentaire]], c'est-à-dire qu'il est isomorphe à (ℤ/2ℤ)Modèle:Exp pour un certain entier r. Cet exposant r est premier puisque p = 2Modèle:Exp – 1 est un Modèle:W.

Problème 14

Soit G un groupe n'ayant qu'un nombre fini de sous-groupes. Montrer que G est fini. Modèle:Solution