Air/Équation des gaz parfaits

Équation d'état du gaz parfait

La loi des gaz parfaits est la célèbre équation enseignée à tous les étudiants :

 $P V = N R T$

Elle décrit le comportement d'un gaz « idéal ». Diverses parties de cette loi sont également connues sous le nom de loi de Charles, loi de Boyle, loi de Gay-Lussac ou loi d'Avogadro.

La formulation de cette loi a joué un rôle crucial dans le développement de la théorie atomique (c'est-à-dire la prise de conscience que la matière est réellement constituée d'atomes) et dans le développement de la thermodynamique.

Cette « loi » n'a été, pendant longtemps, qu'une observation expérimentale, sans aucune compréhension scientifique de la raison pour laquelle elle est vraie. Ce n'est qu'avec l'avènement de la théorie cinétique des gaz, au milieu des années 1800, qu'elle a été posée sur une base théorique solide. Mais cette base théorique dépasse le niveau de cette leçon.

Dans la formule $P V = N R T$ :

$P$ est la pression du gaz. Dans le système international d'unités, elle est mesurée en pascals, ou en newtons de force par mètre carré de surface. (« La pression atmosphérique standard au niveau de la mer » est d'environ 101 000 pascals, ou 101 kilopascals. 100 kPa est également appelé 1 bar, et la pression est souvent décrite en millibars. Sur les baromètres étalonnés au mercure, 100 kPa correspondent à 29,5 pouces (750 millimètres) de mercure, donc la pression atmosphérique standard est de 29,8 pouces.)
$V$ est le volume, en mètres cubes.
$T$ est la température, en kelvins. C'est-à-dire la température absolue. La température en kelvins, ou absolue, est la température en degrés Celsius plus 273,15.
$N$ est la quantité de gaz, en moles. Une mole est définie comme le nombre d'Avogadro (6,022 x 10²³) de particules. Ce nombre est choisi de telle sorte qu'une mole de n'importe quel atome ou molécule, mesurée en grammes, soit égale au poids atomique de tous les atomes que contient la molécule. Par exemple, le chlore est une molécule diatomique, Cl₂. Le poids atomique du chlore est de 35,45, donc 1 mole de molécules Cl₂ pèse 70,9 grammes.
$R$ est la constante universelle des gaz qui fait fonctionner tout cela. Autrement dit, la loi des gaz parfaits dit que $\frac{P V}{N T}$ est une constante, et cette constante, appelée $R$ , est expérimentalement égale à $8.314 \frac{(N e w t o n / m^{2}) (m^{3})}{(m o l e) (K e l v i n)}$ , ce qui est équivalant à $8.314 \frac{J o u l e s}{(m o l e) (K e l v i n)}$

Les différentes parties de cette loi ont été découvertes en plusieurs étapes par plusieurs personnes effectuant des expériences minutieuses aux XVIIModèle:E, XVIIIModèle:E et XIXModèle:E siècles. Elle ne s'applique qu'aux gaz « parfaits » (voir Gaz et lois des gaz pour une discussion à ce sujet), mais les gaz courants, dans des conditions non extrême, ont un comportement suffisamment proches d'un gaz parfait pour que cette loi soit généralement suffisante dans la plus parts des cas pratiques de la vie courante.

Gaz parfait à température constante

Loi de Boyle

La loi de Boyle, formulée vers 1662 par Robert Boyle (1627-1691), dit qu'à température constante, le volume occupé par une quantité donnée de gaz est inversement proportionnel à la pression. Intuitivement, un piston sur un cylindre de gaz est « élastique » : il résistera aux tentatives de le pousser vers l'intérieur.

Si l'on mesure a un instant T, la pression P et le volume V d'un gaz confiné, et qu'on multiplie ces valeurs, on obtient une constante qui sera la même pour une autre configuration (d’où la forme hyperbolique de la courbe) si l'on prend soin de maintenir la température de ce gaz constante.

 $P . V = C s t e$  (à température constante)

avec:

$P$ en Pa
$V$ en m³

Loi de Boyle-Mariotte

La loi de Boyle-Mariotte, où Edme Mariotte (1620-1684) est un abbé physicien et botaniste français qui trouva lui aussi là loi précédente (loi de Boyle) mais en 1676. C'est deuxième loi est très facilement déductible de la précédente, et permet de convertir le volume (ou la pression) d'un gaz d'un état 1 à un état 2, mais à température constante.

 $P_{1} \times V_{1} = P_{2} \times V_{2}$

De cette loi, on peut déduire le volume occupé par un gaz (parfait) suivant la pression, ou à l'inverse, la pression exercé sur ce gaz pour un volume donné si l'on connait le couple volume et pression à un autre instant (avec la même température):

Retrouver la Loi de Boyle-Mariotte a partir de la loi Boyle :
Si :
  $P_{1} \times V_{1} = C s t e$  pour une température du gaz  $T_{1}$ 
et Si :
  $P_{2} \times V_{2} = C s t e$  avec  $T_{2} = T_{1}$ 
Alors :
  $P_{1} \times V_{1} = C s t e = P_{2} \times V_{2}$ 
 et donc plus simplement :
  $P_{1} \times V_{1} = P_{2} \times V_{2}$

On peut ainsi obtenir, avec une simple règle de 3, le volume $V_{2}$ occupé par un gaz après une compression ou décompression (différence entre $P_{1}$ et $P_{2}$ ), si l'on connaissait le volume initial $V_{1}$ :

 $V_{2} = \frac{P_{1} \times V_{1}}{P_{2}}$  ou  $P_{2} = \frac{P_{1} \times V_{1}}{V_{2}}$

Gaz parfait en fonction de la température

La loi de Gay-Lussac, formulée vers 1802 par Louis Joseph Gay-Lussac (1778-1850), stipule que, à pression constante, le volume occupé par une quantité donnée de gaz est directement proportionnel à la température.

 $P \times V = T \times C s t e (avec T en Kelvin)$

Cette loi est parfois appelée loi de Charles, d'après une formulation antérieure du même principe vers 1787 par Jacques Charles (1746-1823).

Intuitivement, lorsqu'un gaz est chauffé, il se dilate. Il a fallu redéfinir l'échelle de température pour que la proportionnalité fonctionne. Cette échelle de température est maintenant appelée l'échelle Kelvin, ou température absolue. La température Kelvin est supérieure de 273,15 degrés à la température Celsius ou centigrade. La loi de Gay-Lussac implique que, si un gaz pouvait être refroidi jusqu'au zéro absolu (0° Kelvin, ou -273,15° Celsius), son volume tomberait à zéro. En pratique, une substance cesserait d'être un gaz avant que ce point ne soit atteint.

Il faut noter que le rechauffement d'un gaz lors d'une compression (comme une pompe à vélo qui s’échauffe lorsque on gonfle un pneu), est un phénomène réversible : décomprimer un gaz induit un refroidissement (on voit souvent de la glace se former sur une vanne rapidement ouverte d'une bouteille de gaz comprimè). C'est le principe de fonctionnement d'un réfrigérateur ou d'un climatiseur.

Combinaison des loi de Boyle et de Gay-Lussac

En combinant la loi de Boyle et la loi de Gay-Lussac, on obtient :

 $\frac{P V}{T} = quelque chose qui dépend du type et de la quantité de gaz$

Le côté droit de cette équation est clairement proportionnel à la quantité de gaz, mesurée en grammes, par exemple, puisque deux grammes occuperont deux fois plus de volume qu'un gramme, toutes choses étant égales par ailleurs.

Vers 1811, Amedeo Avogadro (1776-1856) fit la remarquable découverte :

si la quantité de gaz est mesurée en nombre réel de molécules, il n'existe qu'une seule constante, qui ne dépend pas du type de gaz.

Cette découverte s'appuyait sur la théorie atomique formulée vers 1803 par John Dalton (1766-1844) selon laquelle la matière est constituée de molécules et d'atomes, et que la masse d'un atome donné est proportionnelle à son poids atomique, une mesure qui avait déjà été élaborée à l'époque pour de nombreux éléments en fonction de leur composition chimique. Cela signifie que, si la quantité de gaz est mesurée en multiples de son poids atomique, il n'existe qu'une seule constante. Une quantité de gaz (ou de toute autre substance) dont le poids en grammes est égal à son poids atomique ou moléculaire est appelée mole (ou peut-être gramme-mole pour clarifier la manière dont les choses sont pesées) et correspond à un nombre défini d'atomes ou de molécules. Ce nombre est le nombre d'Avogadro, qui est aujourd'hui estimé à 6,022 x 10²³.

Au début, on ne connaissait pas avec certitude le nombre d'Avogadro. Il s'agit essentiellement d'une mesure de la petitesse des atomes : le nombre d'atomes d'hydrogène d'Avogadro pèse 1,008 gramme (son poids atomique). On savait simplement que les atomes sont extrêmement petits, et donc que le nombre d'Avogadro est extrêmement grand. Mais la loi des gaz parfaits et les lois chimiques des proportions définies et des proportions multiples, qui ont donné naissance à la théorie atomique, ne dépendaient pas de la connaissance de la valeur réelle.

En mettant tout cela ensemble, on obtient :

P V = N R T soit l'équation d'état du gaz parfait vu en introduction.

où $N$ est le nombre de moles de gaz, c'est-à-dire le nombre de molécules divisé par le nombre d'Avogadro, ou, de manière équivalente, la masse en grammes divisée par le poids moléculaire. $R$ est la constante universelle des gaz :

R = 8.314 \frac{J o u l e s}{(m o l e) (K e l v i n)}

En laboratoire, il est courant d'utiliser les « Conditions normales de température et de pression » (CNTP, ou STP en anglais) comme approximation de départ. Il s'agit d'une température de Modèle:Unité (= Modèle:Unité), et d'une pression de Modèle:Unité (= Modèle:Unité = Modèle:Unité ) soit la pression atmosphérique standardisé au niveau de la mer. Avec cette hypothèse, le volume d'une mole de gaz est :

V = \frac{R T}{P} = \frac{8.314 \times 273.15}{101325} = . 0224 m^{3} = 22.4 L

Ainsi, à CNTP, Modèle:Unité d'argon (son poids atomique) occupent Modèle:Unité.

Constante de Boltzmann

Cette valeur particulière de la constante des gaz n'est en réalité qu'un artefact du choix du nombre d'Avogadro, qui est un artefact de la façon dont les poids atomiques sont mesurés. Nous pouvons diviser la constante des gaz ( $R$ ) par le nombre d'Avogadro, ce qui donne une valeur plus fondamentale « par molécule » au lieu d'une valeur « par mole ». C'est ce qu'on appelle la constante de Boltzmann, généralement notée $k$ .

k = 1.38065 \times 1 0^{- 23} \frac{J o u l e s}{K e l v i n}

Exprimée de cette façon, la loi des gaz parfaits est

$P V = n k T$

où $n$ est le nombre de molécules et $k$ est la constante de Boltzmann. Il est communément admis qu'un $n$ minuscule compte les molécules, tandis qu'un $N$ majuscule compte les moles.

La constante de Boltzmann joue un rôle important en thermodynamique et en mécanique statistique.

Capacité thermique massique

La capacité thermique massique, ou chaleur spécifique d'une substance, est la quantité d'énergie thermique nécessaire pour augmenter sa température d'une certaine valeur. Elle est souvent mesurée en joules par degré (Celsius ou Kelvin) par quantité de substance. Bien que le sujet général de la capacité thermique d'une substance dépasse largement le cadre de cette leçon, on peut en dire quelques mots dans le contexte de la loi des gaz parfaits.

La quantité de matière peut être mesurée en grammes, ce qui signifie que l'unité de capacité thermique est $\frac{J o u l e s}{(g r a m m e) (K e l v i n)}$ . Pour les substances qui ont une notion claire de ce qui constitue une molécule, la mole est peut-être un meilleur choix pour l'unité de substance. Mesurée de cette façon, l'unité de capacité thermique est $\frac{J o u l e s}{(m o l e) (K e l v i n)}$ . Il s'agit de la même dimensionnalité que la constante universelle des gaz $R$ , ce qui signifie que la capacité thermique d'une substance peut être exprimée comme un multiple de $R$ .

Pour les gaz, il y a une différence entre le maintien d'un volume constant (« capacité thermique à volume constant », notée $C_{v}$ ) ou d'une pression constante (« capacité thermique à pression constante », notée $C_{p}$ ). Pour les liquides ou les solides, la variation de volume est insignifiante, elle ne fait donc pratiquement aucune différence.

Voici quelques exemples, tous à des températures et des pressions raisonnables :

Substance	$C$ , en $\frac{J o u l e s}{(g r a m m e) (K e l v i n)}$	$C$ , en $\frac{J o u l e s}{(m o l e) (K e l v i n)}$	$C$ , comme multiple de $R$
Hélium	$C_{p}$ = 5,19	$C_{p}$ = 20,78	$C_{p}$ = 2,5 R
	$C_{v}$ = 3,12	$C_{v}$ = 12,47	$C_{v}$ = 1,5 R
Néon	$C_{p}$ = 1,03	$C_{p}$ = 20,78	$C_{p}$ = 2,5 R
	$C_{v}$ = 0,618	$C_{v}$ = 12,47	$C_{v}$ = 1,5 R
Argon	$C_{p}$ = 0,52	$C_{p}$ = 20,78	$C_{p}$ = 2,5 R
	$C_{v}$ = 0,312	$C_{v}$ = 12,47	$C_{v}$ = 1,5 R
Azote	$C_{p}$ = 1,04	$C_{p}$ = 29,1	$C_{p}$ = 3,5 R
	$C_{v}$ = 0,742	$C_{v}$ = 20,8	$C_{v}$ = 2,5 R
Oxygène	$C_{p}$ = 0,918	$C_{p}$ = 29,39	$C_{p}$ = 3,53 R
	$C_{v}$ = 0,659	$C_{v}$ = 21,1	$C_{v}$ = 2,53 R
Chlore	$C_{p}$ = 0,478	$C_{p}$ = 33,9	$C_{p}$ = 4,08 R
	$C_{v}$ = 0,361	$C_{v}$ = 25,6	$C_{v}$ = 3,08 R
Ammoniaque (gaz, 40° C)	$C_{p}$ = 2,12	$C_{p}$ = 36,0	$C_{p}$ = 4,33 R
	$C_{v}$ = 1,63	$C_{v}$ = 27,7	$C_{v}$ = 3,33 R
Hexafluorure de soufre	$C_{p}$ = 5,52	$C_{p}$ = 806	$C_{p}$ = 97 R
	$C_{v}$ = 5,47	$C_{v}$ = 798	$C_{v}$ = 96 R
Lithium	C = 3,57	C = 24,8	C = 2,98 R
Aluminium	C = 0,897	C = 24,2	C = 2,91 R
Cuivre	C = 0,385	C = 24,47	C = 2,94 R
Fer	C = 0,412	C = 25,09	C = 3,02 R
Soufre	C = 0,709	C = 22,75	C = 2,73 R
Uranium	C = 0,116	C = 27,7	C = 3,33 R
Eau (liquide, température ambiante)	C = 4,184	C = 75,3	C = 9,06 R
Vapeur d’eau (100 °C)	$C_{p}$ = 2,02	$C_{p}$ = 36,4	$C_{p}$ = 4,38 R
	$C_{v}$ = 1,56	$C_{v}$ = 28,1	$C_{v}$ = 3,38 R

Le fait que, pour de nombreuses substances, la capacité thermique soit un multiple étonnamment simple de $R$ s'explique par la théorie cinétique et la mécanique statistique, et dépasse le cadre de cet article. Cependant, il existe une relation simple entre $C_{p}$ et $C_{v}$ pour tout gaz qui obéit à la loi des gaz parfaits.

Étant donné que $R$ = Modèle:Unité, on peut vérifier que la troisième colonne du tableau ci-dessus est toujours 8,314 fois la quatrième colonne. Étant donné que le rapport d'une mole à un gramme est le poids moléculaire, on peut vérifier que la troisième colonne est toujours le poids moléculaire (et non atomique) multiplié par la deuxième colonne. Par exemple, le poids moléculaire du dichlore ( $C l_{2}$ ) est de 70,9, donc 33,9 = 0,478 × 70,9.

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Air/Équation des gaz parfaits

Sommaire

Équation d'état du gaz parfait

Gaz parfait à température constante

Loi de Boyle

Loi de Boyle-Mariotte

Gaz parfait en fonction de la température

Combinaison des loi de Boyle et de Gay-Lussac

Constante de Boltzmann

Capacité thermique massique

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Gaz parfait à température constante

Loi de Boyle

Loi de Boyle-Mariotte

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