Théorie des groupes/Groupes monogènes, ordre d'un élément

Groupes monogènes

Nous avons vu qu'un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément. Nous avons vu aussi que Z est monogène et que le sous-groupe (monogène) d'un groupe G engendré par un élément a de G est l’ensemble des éléments de G de la forme $a^n$, n parcourant $\mathbb{Z}.$.

Si a est un générateur d'un groupe monogène G, tout élément de G est de la forme $a^n$, avec $n\in \mathbb{Z}$. Il en résulte que tout groupe monogène est commutatif.

Modèle:Proposition

Ordre d'un élément

Remarques. 1° Nous avons vu que le sous-groupe de G engendré par g est l’ensemble des éléments de G de la forme gⁿ, n parcourant les entiers rationnels. Il en résulte clairement que le sous-groupe de G engendré par gModèle:Exp est égal au sous-groupe de G engendré par g. Donc g et gModèle:Exp ont le même ordre.
2° Soient G un groupe, g un élément de G et H un sous-groupe de G comprenant g. Le sous-groupe de H engendré par g est égal au sous-groupe de G engendré par g, donc l'ordre de g dans H est égal à l'ordre de g dans G.
3° Un élément d'ordre 2 est souvent appelé une involution. Dans un groupe G de permutations d'un ensemble X, les involutions sont les permutations non identiques de X appartenant à G qui sont leur propre réciproque. Attention : on définit une permutation involutive comme une permutation qui est sa propre réciproque, même si cette permutation est la permutation identique. Les permutations involutives d'un ensemble X ne se réduisent donc pas aux involutions (éléments d'ordre 2) du groupe des permutations de X.

Groupes simples commutatifs

Dans la proposition qui précède, l'expression « groupe cyclique d'ordre premier » est redondante, comme le montre la proposition suivante :

Remarques.

1. Le théorème précédent et le [[../Théorème de Jordan-Hölder|théorème de Jordan-Hölder]] (qui sera démontré plus loin mais ne dépend d'aucun des théorèmes non triviaux sur la divisibilité dans N ou Z) permettent de prouver le théorème fondamental de l'arithmétique (existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers). Ce sera fait dans les exercices sur le théorème de Jordan-Hölder. En revanche, cette méthode ne prouve pas le théorème de Bachet-Bézout.
2. Les [[../Groupes alternés|groupes alternés]] nous fourniront des exemples de groupes simples finis non commutatifs. Dans [[../Exercices/Groupes alternés|les exercices sur les groupes alternés]], nous rencontrerons un groupe simple infini (non commutatif d’après le précédent théorème).