Produit scalaire dans le plan/Exercices/Applications directes

Calculs avec les coordonnées

On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ orthonormée.

$\overrightarrow{v_1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2})$, $\overrightarrow{v_2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-3}{0})$, $\overrightarrow{v_3}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{1})$

1. Calculer $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}$ ; $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_3}$ ; $\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{v_3}$.

2. Parmi ces vecteurs, y en a-t-il qui sont orthogonaux ?

Coordonnées et angles

Dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ orthonormée :

$\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-2})$ et $\overrightarrow{v}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-3}{1})$

1. Calculer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

2. Calculer $||\overrightarrow{u}||$ et $||\overrightarrow{v}||$.

3. En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ en radians puis en degrés.

Dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ orthonormée :

$\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{-3})$ et $\overrightarrow{v}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{5})$

Donner une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ en radians puis en degrés.

Dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ orthonormée.

$\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{3})$ et $\overrightarrow{v}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{-5})$

Donner une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ en radians puis en degrés.

Dans une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ orthonormée.

$\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{2})$ et $\overrightarrow{v}(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{-1})$

Donner une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ en radians puis en degrés.

Vecteur orthogonal

Donner un vecteur orthogonal au vecteur $\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})$.

Droite

Soit la droite D dont l'équation dans un repère orthonormé est :

$y=-2x+3$

1. Donner un vecteur directeur de la droite D.

2. Donner un vecteur orthogonal à la droite D (vecteur normal)

Droite définie par un point et un vecteur normal

Soit, dans un repère orthonormé, la droite $𝒟$ passant par $A(2;-5)$ et

orthogonale au vecteur $\overrightarrow{u}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{-3})$.

Déterminer une équation de la droite $𝒟$ en notant $M(x;y)$ un point de $𝒟$

et en écrivant que :

$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{u}=0$

Somme de deux vecteurs

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que :

$||\overrightarrow{u}||=2$

$||\overrightarrow{v}||=5$

$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=30^{\circ }$

1. Développer $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{)}^2$

2. En déduire la norme du vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$

Théorème d'Al Kashi

Soit ABC un triangle.

1. Démontrer en développant $(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}{)}^2$ que :

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

2. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

$AC=3$ ; $AB=2$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=25^{\circ }$.

3. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

$AC=3$ ; $AB=4$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=45^{\circ }$.

Tangente à un cercle

Soit le cercle $𝒞$ de centre A (1;-1) et de rayon $\sqrt{2}$.

1. Démontrer que B(2,0) appartient à $𝒞$.

2. Donner une équation de la tangente à $𝒞$ au point B.

Projection et symétrie

Soit $𝒟$ la droite de ${ℝ}^2$ d'équation $y=2x+1$.

1. Donner une paramétrisation de $𝒟$. On notera $\overrightarrow{v}$ un vecteur directeur de $𝒟$.
2. Soit $A=(0,1)$. Déterminer le projeté orthogonal de $A$ sur $𝒟$. Même question pour $B=(0,0)$. Faire un dessin.
3. Soient $M=(x,y)\in {ℝ}^2$, $M^{\prime }=\frac{1}{5}(x+2y-2,2x+4y+1)$ et $M^{″}$ le symétrique orthogonal de $M$ par rapport à $𝒟$.
   1. Montrer que $M^{\prime }\in 𝒟$.
   2. Montrer que $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ est orthogonal à $\overrightarrow{v}$.
   3. En déduire les coordonnées de $M^{″}$ (en fonction de $x$ et $y$).
4. Soit $\mathrm{\Delta }$ la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $(1,1)$. Déterminer le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathrm{\Delta }$ ainsi que l'image de $A$ par la symétrie orthogonale par rapport à $\mathrm{\Delta }$.

Deux droites

Dessiner les droites définies par les équations $x-2y+1=0$ et $x+y+1=0$. Déterminer leur point d'intersection et l'angle entre elles. Modèle:Solution