Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Problème 1

Soient G un groupe et A, B deux sous-groupes conjugués. Montrer que si AB = G, alors A et B sont égaux à G.

Modèle:Solution (Généralisation) Soient K et H deux sous-groupes d'un groupe G et x, y deux éléments de G. Montrer que

si G = HK alors G = HModèle:ExpKModèle:Exp

où, pour tout élément g et toute partie A de G, AModèle:Exp désigne la partie conjuguée gModèle:ExpAg de A. Modèle:Solution

Problème 2

Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par A^g le conjugué $g^{-1}Ag$ de A, de sorte que (A^g)^h = A^gh. On suppose que $A=1$ et que $A\cap A^g=1$ pour tout $g\in G\setminus A$. Prouver que

$|\bigcup _{g\in G}{A}^g|\ge \frac{|G|}{2}+1$.

Problème 3

Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par A^g le conjugué $g^{-1}Ag$ de A, de sorte que (A^g)^h = A^gh. Prouver que si $A=G$, alors $G=\bigcup _{g\in G}{A}^g$, autrement dit G n’est pas la réunion des conjugués de A.

Modèle:Solution Remarque : on verra dans [[../Premiers résultats sur les groupes simples|les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples]] que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini.

Problème 4

Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.)

Problème 5 (facile)

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Soit K le cœur de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de H dans G (y compris H). Prouver que K est un sous-groupe distingué de G.

Problème 6 (facile)

Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X.

Problème 7 (facile)

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe normal d'ordre 2 de G. Prouver que H est contenu dans le centre de G.

Problème 8 (facile)

Soient a₁, ... , a_n des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a₁, ... , a_n est l’ensemble des éléments de la forme $a_1^{r_1}\dots a_n^{r_n},$ où r₁, ... , r_n parcourent les entiers rationnels.

Problème 9 (facile)

Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :
1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;
2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe.

Problème 10

Soit G un groupe. Pour deux éléments a et b de G, on posera $a^b=b^{-1}ab$, de sorte que, pour a, b et c dans G, $(ac{)}^b=a^b{c}^b$ et $a^{bc}=(a^b{)}^c$. Pour une partie X de G et un élément g de G, on désignera par $X^g$ l’ensemble des $x^g$, x parcourant X.

a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que

$(1)X^g\subseteq X$ pour tout élément g de G.

Supposons que X soit la réunion de n parties X₁, ..., X_n de G :

$X=X_1\cup \cdots \cup X_n.$

Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme

$(2)x_{1,1}\cdots x_{1,r_1}{x}_{2,1}\cdots x_{2,r_2}\cdots x_{n,1}\cdots x_{n,r_n}$

avec

$x_{i,j}\in X_i$ pour tout $i$ ($1\le i\le n$) et tout $j$,

en admettant que $r_i$ puisse être nul, auquel cas $x_{1,1}\cdots x_{1,r_1}$ est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1.

b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient $A_1,\dots ,A_n$ ces conjugués. Alors

$⟨A_1,\dots ,A_n⟩=A_1\cdots A_n$. (Appliquer le point a).)

c) Soient G un groupe, x un élément de G et $A_1,A_2$ deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble $\{x^g|g\in G\}$ des conjugués de x dans G. Supposons que $⟨C⟩=G$ et $C\subseteq A_1\cup A_2$. Prouver que $A_1=G$ ou $A_2=G$. (Appliquer le point a).)

Problème 11 (facile)

a) Soient A, B deux groupes, $\sigma$ un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que $\sigma (C_A(H))=C_B(\sigma (H)).$

b) Soient A, B deux groupes, $\sigma$ un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que $\sigma (N_A(H))=N_B(\sigma (H)).$

c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et a un élément de G. Prouver que

$a^{-1}{C}_G(H)a=C_G(a^{-1}Ha)$

et

$a^{-1}{N}_G(H)a=N_G(a^{-1}Ha).$

d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G.

Problème 12

Soient $G$ un groupe et $x\in G$ un élément d'ordre $n$. On note :

• $H=⟨x⟩$ le sous-groupe engendré par $x$ ;
• $C=\{y\in G\mid xy=yx\}$ le centralisateur de $x$ ;
• $N=\{y\in G\mid Hy=yH\}$ le normalisateur de $H$.

Remarquons que l'on a toujours $H\subset C\subset N$.

1. 1. Expliciter $H$, $C$ et $N$ dans le cas $G=S_4$ et $x=(123)$.
   2. Même question, toujours dans le cas $G=S_4$, avec $x=(12)$.
2. On revient au cas général. Montrer que pour tout $y\in N$, il existe un entier $k$ premier avec $n$ tel que $yx{y}^{-1}=x^k$. Cet entier $k$ est-il unique ? Montrer que si $n$ est premier, $y^{k-1}\in C$.
3. Montrer que l'on peut définir une application $\phi :N\to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ en posant $\phi (y)=\overline{k}$ (où $k$ provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes.
4. Calculer le noyau de $\phi$.
5. On suppose dans cette dernière question que $G$ est un groupe symétrique $S_m$ (où $m\ge 2$).
   1. Montrer que les générateurs du groupe $H$ sont deux à deux conjugués dans $G$.
   2. En déduire que les groupes $N/C$ et $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ sont isomorphes.

Problème 13

L'objet de ce problème est de prouver que si $\phi$ est un homomorphisme d'un groupe $G_0$ dans un groupe G, alors $\phi$ est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes $f,g$ de G dans L, l'égalité $f\circ \phi =g\circ \phi$ entraîne $f=g.$

a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons $\mathrm{\infty }.$ Notons X l'ensemble $(G/H)\cup \{\mathrm{\infty }\}$ et notons K le groupe $S_X$ des permutations de X.

Pour tout élément $a$ de G, notons $\tilde{a}$ la transformation de X qui applique $\mathrm{\infty }$ sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément $b$ de G, $\tilde{a}(bH)=(ab)H.$ Prouver que pour tout élément $a$ de G, $\tilde{a}$ est une permutation de X, que l'application $f:G\to S_X:a\mapsto \tilde{a}$ est un homomorphisme de G dans $K=S_X$ et que si $a\in H$ alors la permutation $f(a)$ fixe l'élément H de X.

b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H.

Indications. De façon générale, si T est un ensemble et $x,y$ deux différents éléments de T, on note $(xy)$ la permutation de T qui applique $x$ sur $y$, $y$ sur $x$ et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T.

Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme $g$ de G dans $K=S_X$ par $g=\gamma \circ f$, où $f$ est l'homomorphisme de G dans $K=S_X$ considéré au point a) et où $\gamma$ est l'automorphisme intérieur $\sigma \mapsto (H\mathrm{\infty })\circ \sigma \circ (H\mathrm{\infty }{)}^{-1}=(H\mathrm{\infty })\circ \sigma \circ (H\mathrm{\infty })$ du groupe $S_X.$

Prouver que $f$ et $g$ sont deux différents homomorphismes de G dans K et que $f|H=g|H,$ ce qui prouve le point b).

Modèle:Solution c) Soit $\phi$ un homomorphisme d'un groupe $G_0$ dans un groupe $G.$ Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i)$\phi$ est surjectif ;

(ii) $$pour tout groupe L et pour tous homomorphismes $f,g$ de G dans L, l'égalité $f\circ \phi =g\circ \phi$ entraîne $f=g.$

Indication : utiliser le point b).

Modèle:Solution Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les Modèle:Ws sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].

Problème 14

Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe SModèle:Ind des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y :

$A:=\{\sigma \in S_X\mid \mathrm{\forall }y\in Y\sigma (y)=y\}$.

Soit M le sous-monoïde de SModèle:Ind formé des éléments $s$ tels que $sA{s}^{-1}\subset A.$

L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de SModèle:Ind si et seulement si Y ou X\Y est fini.

On pose pour cela :

$N:=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)\subset Y\}$.

1. Vérifier que N ⊂ M.
2. Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M.
3. Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N.
4. Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de SModèle:Ind.
5. Démontrer la réciproque.
6. Conclure.

Problème 15

Soit G un groupe.

1. Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien.
2. En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien.