Théorie des groupes/Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Centre d'un groupe

Il est clair que Z(G) est un sous-groupe distingué de G : si a est un élément de Z(G), alors, pour tout élément g de G, nous avons gagModèle:Exp = aggModèle:Exp = a, donc gagModèle:Exp appartient à Z(G), ce qui montre bien que Z(G) est distingué dans G. En fait, la même démonstration prouve que tout sous-groupe de Z(G) est distingué dans G.

Conjugaison

Modèle:Wikipédia Soient G un groupe et g un élément de G. L'application $x\mapsto gx{g}^{-1}$ de G dans lui-même est appelée la conjugaison par g (dans G). Nous la noterons Int(g). On a déjà noté au chapitre « [[../Groupes, premières notions/]] » que c’est un automorphisme de G, admettant pour réciproque la conjugaison

$x\mapsto g^{-1}xg$.

Comme déjà vu également, on dit qu'un automorphisme f de G est intérieur s'il existe un élément g de G tel que f soit la conjugaison par g.

L'ensemble Int(G) des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe du groupe Aut(G) des automorphismes de G ; plus précisément, l’application Int : $g\mapsto Int(g)$ est un homomorphisme de G dans Aut(G) et Int(G) est l'image de cet homomorphisme.

Le noyau ker Int de cet homomorphisme est l’ensemble des éléments g de G tels que Int(g) soit l'automorphisme identité de G, autrement dit ker Int est l’ensemble des éléments g de G tels que gxgModèle:Exp = x pour tout élément x de G ; la condition gxgModèle:Exp = x revient à gx = xg, donc le noyau considéré est le centre Z(G) de G. (Ceci montre de nouveau que Z(G) est un sous-groupe normal de G.) Le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|premier théorème d'isomophisme]] permet donc d'énoncer :

On peut aussi montrer que Modèle:Théorème Démonstration. Soient g un élément de G et $\alpha$ un endomorphisme de G. Alors

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(\alpha (g))\circ \alpha =\alpha \circ \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(g)$

(car les deux membres appliquent x sur $\alpha (g)\alpha (x)\alpha (g{)}^{-1}$). Si $\alpha$ est un automorphisme, cela peut s'écrire

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(\alpha (g))=\alpha \circ \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(g)\circ {\alpha }^{-1}$,

ce qui montre bien que Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).

Soient x, y et g des éléments de G tels que y = gxg⁻¹. Nous dirons alors que y est le conjugué de x par g. Si un élément y de G est image d'un élément x de G par un automorphisme intérieur, autrement dit s'il existe un élément g de G tel que y soit le conjugué de x par g, on dit que y est (un) conjugué de x (dans G). Du fait que les automorphismes intérieurs forment un groupe pour la composition, il résulte que la relation « y est un conjugué de x » est une relation d'équivalence dans G. En effet :

x = 1x1Modèle:Exp (réflexivité)

si y = gxgModèle:Exp, alors x = (gModèle:Exp)yg = (gModèle:Exp)y(gModèle:Exp)Modèle:Exp (symétrie)

si y = gxgModèle:Exp et z = hyhModèle:Exp, alors z = hgxgModèle:ExphModèle:Exp = (hg)x(hg)Modèle:Exp (transitivité).

De même, si un sous-ensemble A de G est image d'un sous-ensemble B de G par un automorphisme intérieur, c'est-à-dire s'il existe un élément g de G tel que $A=gB{g}^{-1}$, on dit que A est conjugué de B (dans G), ou, plus précisément, est le conjugué de B (dans G) par g. Ici encore, on vérifie que cela définit une relation d'équivalence entre sous-ensembles de G.

Tout conjugué d'un sous-groupe H de G est image de H par un automorphisme (intérieur) de G et est donc un sous-groupe de G isomorphe à H.

Si H est un sous-groupe de G, le conjugué de H (dans G) par un élément h de H est égal à H. (En effet, puisque h et h⁻¹ appartiennent à H, la classe à gauche hH et la classe à droite Hh⁻¹ sont égales à H, donc hHh⁻¹ = (hH)h⁻¹ = Hh⁻¹ = H.)

En particulier, le conjugué de G (dans G) par n’importe quel élément de G est G lui-même.

Notons que certains auteurs définissent le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg. Ce qui suit montre un avantage de cette définition.

On note souvent x^g (resp. H^g) le conjugué d'un élément x (resp. d'un sous-groupe H) par un élément g. Si, comme nous l'avons fait, on définit le conjugué de x par g comme étant gxg⁻¹, on a alors

(x^g)^h = x^hg ;

si, au contraire, on définit le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg, on a

(x^g)^h = x^gh,

ce qui est évidemment plus agréable. Nous retrouverons cette problématique dans le cadre plus général des opérations à gauche et à droite d'un groupe sur un ensemble.

Deux éléments conjugués dans le groupe G sont images l'un de l'autre par des automorphismes de G et on montre facilement que l'image d'un élément x par un automorphisme de G a le même ordre que x. Donc deux éléments conjugués ont toujours le même ordre.

Soient x et y deux éléments du groupe G. Nous avons $xy=y^{-1}(yx)y$, donc xy et yx sont conjugués. En particulier, ils ont le même ordre. (Nous l'avons démontré plus lourdement dans un exercice.)

Un élément de G est point fixe de la conjugaison par g si et seulement s'il commute avec g. Il est point fixe de tous les automorphismes intérieurs si et seulement s'il commute avec tout élément de G, autrement dit s'il appartient au centre de G.

Centralisateur

Il est clair que C_G(x) est l’ensemble des points fixes de la conjugaison par x ; comme l’ensemble des points fixes d'un automorphisme est un sous-groupe, C_G(x) est un sous-groupe de G.

C_G(x) est aussi l’ensemble des $g\in G$ tels que x soit point fixe de la conjugaison par g. Ce dernier point sera développé dans le chapitre sur les actions de groupe.

Le centralisateur de A est donc l'intersection des centralisateurs des éléments de A. Puisqu'une intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G, le centralisateur de A est un sous-groupe de G. (Si A est vide, on ne peut théoriquement pas parler de l'intersection des centralisateurs d'éléments de A, car l'intersection d'une famille vide d'ensembles n’est pas définie, mais il est clair que si A est vide, le centralisateur de A est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.)

Le centralisateur (dans G) de G lui-même est le centre de G. Le centre de G est contenu dans le centralisateur de toute partie de G.

On se convainc facilement (voir exercices) que si a₁, ... , a_n sont des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux, le sous-groupe de G engendré par a₁, ... , a_n est l’ensemble des éléments de la forme

$a_1^{r_1}\dots a_n^{r_n},$

où r₁, ... , r_n parcourent les entiers relatifs.

Normalisateur

[[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Rappelons]] la définition : Modèle:Définition

Comme on l'a vu, N_G(H) est le plus grand sous-groupe de G contenant H dont H soit sous-groupe normal.

On dit qu'un élément g de G normalise H si $gH{g}^{-1}=H$, autrement dit si g appartient à N_G(H). On dit qu'un sous-groupe K de G normalise H si tout élément de K normalise H, autrement dit si K est contenu dans le normalisateur N_G(H) de H.

Il est clair que N_G(H) contient à la fois H et le centralisateur de H (dans G).

On a vu que Z(G) est contenu dans C_G(H) ; a fortiori, il est contenu dans N_G(H).

Modèle:Lemme Modèle:Démonstration déroulante En particulier, si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G et X une partie génératrice de H, alors, pour prouver que K normalise H, il suffit, puisque K est une partie symétrique de G (c'est-à-dire que K^-1 = K), de prouver que pour tout élément g de K, g^-1Xg est contenu dans H.

Remarque. Selon W. R. Scott, « ce théorème presque trivial est d'une grande importance en théorie des groupes. »