Ondes électromagnétiques/Onde plane

On travaille dans un milieu LHI de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε sans charges ni courants.

Introduction

On a vu que, pour toute composante de $\overrightarrow{A},\overrightarrow{E}$ ou $\overrightarrow{B}$, les équations de propagation sont de la forme $ϵ\mu \frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=\mathrm{\Delta }s$.

On ne sait pas trouver toutes les solutions de cette équation aux dérivées partielles. On va donc en chercher sous une forme particulière.

Dans la suite, on pose $v=\frac{1}{\sqrt{ϵ\mu }}$. Ainsi, $ϵ\mu =\frac{1}{v^2}$. On expliquera plus loin dans cette page le pourquoi de cette notation.

Modèle:Principe

Modèle:CfExo On pourrait tout aussi bien choisir de rechercher les ondes sphériques solution de cette équation de propagation. Ce cas est laissé en exercice.

Calcul

Résolution

À présent, on s'interroge sur la forme de s. Comme on sait que l'équation vérifiée par s est une équation de propagation suivant $\overrightarrow{x}$, on a l'idée, au lieu de paramétrer s par $(x,t)$, de changer de variables. On pose ainsi deux nouvelles variables :

• $u=t-\frac{x}{v}$
• $w=t+\frac{x}{v}$

Étudions ce que devient l'équation de propagation $\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}$ avec ces nouvelles variables :

• D'après la règle de la chaîne : $\frac{\partial s}{\partial x}=\frac{\partial s}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial s}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}(E)$
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(t-\frac{x}{v})=-\frac{1}{v}$
  • $\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(t+\frac{x}{v})=\frac{1}{v}$
• On obtient: $\frac{\partial s}{\partial x}=\frac{1}{v}(\frac{\partial s}{\partial w}-\frac{\partial s}{\partial u})$
• On redérive $(E)$ par rapport à x :

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}& =[\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{\partial s}{\partial x}\right)\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{\partial s}{\partial x}\right)\frac{\partial w}{\partial x}]\\ & =\frac{1}{v^2}(\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}-2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2})\end{array}$

• On s'attaque maintenant à la dérivée par rapport au temps :
  • On applique la règle de la chaîne : $\frac{\partial s}{\partial t}=\frac{\partial s}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial s}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial t}(E^{\prime })$
  • $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(t-\frac{x}{v})=1$
  • $\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(t+\frac{x}{v})=1$
• Donc $\frac{\partial s}{\partial t}=(\frac{\partial s}{\partial w}+\frac{\partial s}{\partial u})$
• On redérive $(E^{\prime })$ par rapport au temps :

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}& =[\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{\partial s}{\partial t}\right)\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{\partial s}{\partial t}\right)\frac{\partial w}{\partial t}]\\ & =[\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}+2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2}]\end{array}$

L'équation de propagation $\mathrm{\Delta }s=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}$ devient alors (après simplification) $\frac{1}{v^2}(\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}-2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2})=\frac{1}{v^2}(\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}+2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2})$

Cela implique $\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}=0$, c'est-à-dire $s=f(u)+g(w)$

Interprétation

Étudions le cas du terme $f(t-\frac{x}{v})$, l'étude de l'autre terme se menant de manière parfaitement identique.

• À l'instant t₀ et à l'abscisse x₀, ce terme prend la valeur $f(t_0-\frac{x_0}{v})=\alpha$.
• À l'instant $t_0+\mathrm{\Delta }t$, donc un peu plus tard, l'onde s'est propagée. On cherche à quelle abscisse $x+\mathrm{\Delta }x$ on a $f((t_0+\mathrm{\Delta }t)-\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x}{v})=\alpha$.

Cette égalité est vérifiée tout à fait logiquement lorsque $t_0-\frac{x_0}{v}=(t_0+\mathrm{\Delta }t)-\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x}{v}$ (la fonction ƒ appliquée au même nombre va donner le même résultat).

Après développement et simplification, on aboutit à la relation $v=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$. v est donc la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu étudié.

v étant définie positive, cette onde se propage dans le sens des x croissants.

Propriétés

Transversalité du champ électrique

On se place dans la jauge de Coulomb.

Comme $\overrightarrow{E}$ est seule fonction de x et t, sa divergence se réduit à $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E})=\frac{\partial E_x}{\partial x}$.

Or, dans un milieu sans charges, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E})=0$, donc E_x ne dépend pas de x.

Le champ électrique est également défini par $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$.

On projette suivant x : $E_x=-\frac{\partial A_x}{\partial t}$.

On dérive par rapport à t : $\frac{\partial E_x}{\partial t}=-\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial t^2}$.

L'équation de propagation du potentiel vecteur dans un milieu sans courants permet d'obtenir $ϵ\mu \frac{\partial E_x}{\partial t}=-\mathrm{\Delta }{A}_x$.

Comme le potentiel vecteur n'est lui aussi fonction que de x et t, $ϵ\mu \frac{\partial E_x}{\partial t}=-\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}$.

Comme, dans la jauge de Coulomb, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A})=\frac{\partial A_x}{\partial x}=0$, on a finalement $\frac{\partial E_x}{\partial t}=0$, soit E_x indépendant de t.

Finalement, E_x est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours d'électrostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.

On aboutit alors à E_x=0.

Transversalité du champ magnétique

Comme $\overrightarrow{B}$ est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit à $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{B})=\frac{\partial B_x}{\partial x}$.

Or, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{B})=0$, donc B_x ne dépend pas de x.

De plus, $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{E})=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

On projette suivant x : $\frac{\partial B_x}{\partial t}=\frac{\partial E_y}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial y}=0$, donc B_x ne dépend pas de t non plus.

Finalement, B_x est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours de magnétostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.

On a abouti alors à B_x=0.

Transversalité du potentiel vecteur

Comme $\overrightarrow{A}$ est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit dans la jauge de Coulomb à $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A})=\frac{\partial A_x}{\partial x}$.

Or, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A})=0$, donc A_x ne dépend pas de x.

De plus, $\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$

On projette suivant x : $\frac{\partial A_x}{\partial t}=-E_x=0$, donc A_x ne dépend pas de t non plus.

Finalement, A_x est une constante dans le temps et dans l'espace, et pour les mêmes arguments que précédemment on choisit A_x=0.

Relation entre les champs

On suppose désormais travailler avec une onde plane se propageant suivant les $\overrightarrow{x}$ croissants.

On part de l’expression des coordonnées du potentiel vecteur : $\{\begin{array}{c}{A}_x=0\\ A_y=f(t-\frac{x}{v})\\ A_z=g(t-\frac{x}{v})\end{array}$

On obtient alors $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ grâce aux relations $\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$ et $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{A})$ $\{\begin{array}{c}{E}_x=0\\ E_y=-f^{\prime }(t-\frac{x}{v})\\ E_z=-g^{\prime }(t-\frac{x}{v})\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{B}_x=0\\ B_y=\frac{1}{v}{g}^{\prime }(t-\frac{x}{v})\\ B_z=-\frac{1}{v}{f}^{\prime }(t-\frac{x}{v})\end{array}$

On arrive alors à la relation suivante : Modèle:Propriété

Modèle:Bas de page