Statistique inférentielle/Exercices/Test unilatéral

Résistance à l'arrachement d'un jouet

Un jouet pour enfant de moins de 36 mois possède une pièce cylindrique collée qui ne doit pas pouvoir être arrachée par l'enfant (risque d'ingestion).

L’entreprise réalise un test d'arrachement sur un échantillon de 50 jouets prélevés au hasard dans un grande production.

Soit $r_e$ la résistance mécanique moyenne (en daN) à l'arrachement des jouets de l'échantillon,

et soit r la résistance moyenne (en daN) des jouets de l’ensemble de la production.

On admet que $r_e$ suit la loi $N(r,\frac{1}{\sqrt{50}})$.

On construit un test d'hypothèse unilatéral au risque de 1%, destiné à savoir si la résistance r est suffisante.

On donne donc l'hypothèse alternative $H_1:r>10$

1. Donner l'hypothèse $H_0$.

2. Sous l'hypothèse $H_0$, quelle est la loi suivie par $r_e$ ?

3. Sous l'hypothèse $H_0$, calculer le réel $h$ tel que :

$p(r_e\le 10+h)=0,99$

4. Quelle est la règle de décision du test ?

5. Sur un échantillon de 50 jouets, on a relevé les résistances suivantes :

Résistance	7,5	8	8,5	9	9,5	10	10,5	11	11,5	12	12,5	13
Effectifs	1	0	1	3	9	9	10	9	3	2	2	1

a. Calculer la moyenne $r_e$ et l'écart-type ${\sigma }_e$.

b Au seuil de risque de 1%, les jouets produits sont-ils assez solides ?

Composants

On suppose que la durée de vie d'un composant électrique, exprimée en heures,

suit une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart-type $\sigma =20h$

Une étude sur un échantillon de 16 composants donne une durée de vie moyenne de 3000 h.

1. Déterminer un intervalle de confiance pour m au seuil de risque de 10%.

2. Construire un test d'hypothèse unilatéral au seuil de risque de 15 % pour tester :

$H_0$ : La durée de vie moyenne du composant est strictement supérieure à 3000 h.

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