Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions

Problème 1 (très facile)

Montrer que $(\mathbb{N},\cdot )$ et $(\mathbb{Z},\cdot )$ ne sont pas des groupes. Modèle:Solution

Problème 2 (très facile)

On définit une loi $\star$ sur $\mathbb{Z}$ :

$\star :\begin{array}{ccc}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}& \to & \mathbb{Z}\\ (x,y)& \mapsto & x-y\end{array}$

• $(\mathbb{Z},\star )$ forme t-il un groupe ?

Modèle:Solution

Problème 3

(Ce problème suppose la connaissance des propriétés de corps ordonné de l’ensemble des nombres réels.)

Soit S l'intervalle réel $S=]-1,1[$. On définit une loi $\star$ sur $S$ :

$\star :\begin{array}{ccc}S\times S& \to & S\\ (x,y)& \mapsto & \frac{x+y}{1+xy}\end{array}$

• Montrer que $(S,\star )$ est un groupe

Modèle:Solution Modèle:Solution

Problème 4 (Sous-groupe réunion de deux sous-groupes ?)

On a vu dans la théorie que la réunion de deux sous-groupes d'un groupe G n’est pas forcément un sous-groupe de G.

1. Prouver que si G est un groupe, si H et K sont deux sous-groupes de G, alors $H\cup K$ est un sous-groupe de G (si et) seulement si $H\subseteq K$ ou $K\subseteq H$. (H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 4, Modèle:P..)
2. Prouver que si G est un groupe et ${\left(H_i\right)}_{i\in I}$ une suite de sous-groupes de G croissante pour l'inclusion, ou plus généralement une famille non vide de sous-groupes de G sur laquelle l'inclusion est un ordre filtrant à droite, alors la réunion $H:={\cup }_{i\in I}{H}_i$ est un sous-groupe de G.

Problème 5 (Quand tous les carrés sont égaux à 1.)

Soit G un groupe, noté multiplicativement, tel que, pour tout élément x de G, xModèle:Exp = 1. Prouver que G est commutatif.

Remarque. L'énoncé devient faux si on y remplace 2 par un nombre premier p distinct de 2. Le contre-exemple qui suit suppose connues quelques notions d'algèbre linéaire, ainsi que la structure d'anneau de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$

Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

une matrice 3 × 3 unitriangulaire supérieure à coefficients dans un anneau quelconque. On prouve par récurrence sur n que, pour tout nombre naturel n,

$M^n=\left(\begin{array}{ccc}1& na& nb+\frac{n(n-1)}{2}ac\\ 0& 1& nc\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Si p est un nombre premier distinct de 2, p(p-1)/2 est divisible par p. Il en résulte que pour toute matrice M unitriangulaire supérieure 3 × 3 à coefficients dans le corps Z/pZ, M^p est la matrice unité. Donc dans le groupe multiplicatif des matrices unitriangulaires supérieures 3 × 3 à coefficients dans le corps Z/pZ, la p-ième puissance de tout élément est égale à 1. Pourtant, ce groupe n’est pas commutatif, car, par exemple, les matrices

$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

et

$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

ne commutent pas.

Problème 6 (Passage à l'inverse et homomorphisme)

Soit G un groupe. On note f l'involution x ↦ xModèle:Exp de G.

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. G est abélien
2. f est un endomorphisme (et donc un automorphisme)
3. $\mathrm{\forall }x,y\in G(xy{)}^2=x^2{y}^2$
4. $\mathrm{\forall }x,y\in G\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}(xy{)}^n=x^n{y}^n$
5. $\mathrm{\forall }x,y\in G\mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z}(xy{)}^n=x^n{y}^n$ pour $n=k,k+1,k+2$.

b) Déduire du 1 ⇔ 2 du point a) une nouvelle preuve du fait que si xModèle:Exp = 1 pour tout élément x de G, G est commutatif.

c) Démontrer que si |G| > 2, G admet un automorphisme non trivial (c'est-à-dire différent de idModèle:Ind). Modèle:Solution

d) Soit h un endomorphisme de G dont 1 est le seul point fixe.

1. On pose $\phi (x)=x^{-1}h(x)$. Vérifier que $\phi :G\to G$ est injective
2. On suppose de plus que G est fini et que h est une involution. En déduire que h = f (donc d'après le 2 ⇒ 1 de (a), G est abélien).

Problème 7. Monoïdes réguliers finis

a) Appelons monoïde régulier un monoïde dont tout élément est régulier (simplifiable). Prouver que tout monoïde régulier fini est un groupe. (Indication : pour un élément x d'un monoïde régulier fini M, considérer l’application $y\mapsto xy$ de M dans lui-même.)

b) Soit S un sous-monoïde fini d'un groupe G. Prouver que S est un groupe.

c) Soit S une partie stable finie non vide d'un groupe G. Prouver que S est un groupe. Modèle:Solution d) Généraliser c) en remplaçant l'hypothèse « S est fini » par l'hypothèse « tout élément de S est d'ordre fini » (c'est-à-dire engendre un sous-groupe fini). Modèle:Solution

Problème 8

Soient A et B des sous-groupes d'un groupe G. Prouver qu'AB est un sous-groupe de G si et seulement si AB = BA.

Modèle:Solution Référence : Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., énoncé 1.47, p. 37.

Problème 9

Par « ensemble dénombrable », on entendra ici un ensemble fini ou équipotent à l'ensemble des nombres naturels. Prouver que tout groupe admettant une partie génératrice dénombrable est dénombrable. (Indication : utiliser la « description constructive du sous-groupe engendré ». On rappelle que le lecteur est supposé connaître les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 10 (Cardinal d'une partie génératrice infinie)

Soient G un groupe et T une partie génératrice infinie de G. Prouver que $|T|=|G|$. (Indication. Utiliser la « description constructive du sous-groupe engendré ». On rappelle que le lecteur est supposé connaître les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.)

Modèle:Solution Remarque. L'énoncé de ce problème servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un groupe libre.

Problème 11

a) Soient G un groupe et $(X_i{)}_{i\in I},(Y_i{)}_{i\in I}$ deux familles de parties de G telles que pour tout indice i, $Y_i\subseteq ⟨X_i⟩$.

Prouver que $⟨{\cup }_{i\in I}{Y}_i⟩\subseteq ⟨{\cup }_{i\in I}{X}_i⟩$. Modèle:Solution

b) Soient G un groupe et $(H_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de G. Soit $(Z_i{)}_{i\in I}$ une famille telle que, pour tout i dans I, Z_i soit une partie génératrice de H_i (ce qui revient à dire que H_i est le sous-groupe ⟨Z_i⟩ de G engendré par Z_i).

Déduire du point a) que $\bigcup _{i\in I}{Z}_i$ est une partie génératrice du sous-groupe $⟨\bigcup _{i\in I}{H}_i⟩$ de G engendré par les H_i.

(En particulier, si H et K sont des sous-groupes de G, si X est une partie génératrice de H et Y une partie génératrice de K, X∪Y est une partie génératrice de ⟨H, K⟩.) Modèle:Solution Remarque. Il résulte du point b) que le sous-groupe engendré par une famille finie de sous-groupes de type fini d'un groupe G est lui-même un sous-groupe de type fini de G. Ce fait nous servira dans un chapitre ultérieur sur le [[../../Groupes libres : théorème de Howson|théorème de Howson]].

Problème 12. Les homomorphismes injectifs de groupes comme monomorphismes

Soient G, H des groupes, soit $f$ un homomorphisme de G dans H. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $f$ est injectif;

(ii) pour tout groupe K et pour tous homomorphismes $g_1$ et $g_2$ de K dans G, l'égalité $f\circ g_1=f\circ g_2$ entraîne $g_1=g_2.$

Indication : pour prouver que (ii) entraîne (i), on peut prendre pour K un certain sous-groupe de G dont une propriété détermine si $f$ est injectif ou non.

Remarques. L'énoncé du problème revient à dire que, dans la catégorie des groupes, les Modèle:Ws sont exactement les homomorphismes injectifs de groupes. Si le groupe G de l'énoncé est abélien, le groupe K que nous avons utilisé dans la démonstration est lui aussi abélien (puisque c'est un sous-groupe de G), donc la démonstration qui précède s'étend immédiatement à la catégorie des groupes abéliens. Même chose pour la catégorie des groupes finis et pour la catégorie des groupes abéliens finis.