Statistique inférentielle/Intervalle de confiance d'une moyenne

Loi d'échantillonnage de la moyenne

La théorie de l'échantillonnage

En statistique, il est en général impossible d'étudier un caractère sur toute une population de taille N élevée. La théorie de l'échantillonnage se pose la question suivante. En supposant connus les paramètres statistiques de la population, que peut-on en déduire sur les échantillons prélevés dans la population ? On suppose que ces échantillons sont prélevés au hasard et que le tirage de ces échantillons est effectué avec remise.

L'ensemble de ces échantillons de taille n est appelé échantillonnage de taille n.

Étudions dans ces conditions la loi d'échantillonnage des moyennes.

Loi d'échantillonnage des moyennes

On suppose donc sur une population de taille N une variable aléatoire X de moyenne m

et d'écart-type $\sigma$.

Pour prélever un échantillon de taille n,

on a procédé à n épreuves indépendantes auxquelles correspondent n variables aléatoires

$X_1,X_2,...,X_n$ de même loi que X.

La variable aléatoire représentant la moyenne de l'échantillon est :

$Y_n=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$

• Elle dépend bien sûr de la taille n des échantillons.

D'après le théorème central limite, on déduit :

Intervalle de confiance de la moyenne

L'estimation ponctuelle de la moyenne de la population à partir de celle de l'échantillon n'indique pas le risque d'erreur.

Il s'agit de déterminer un intervalle contenant la valeur de la moyenne de la population avec un risque d'erreur décidé à l'avance.

En posant $T_n=\frac{Y_n-m}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$, le théorème précédent implique que $T_n$ suit une loi normale centrée réduite.

Soit $\alpha$ la probabilité, fixée à l'avance, que $T_n$ n'appartiennent pas à l'intervalle $[-t,t]$, alors :

$P(-t\le T_n\le t)=1-\alpha$

donc

$P(Y_n-t\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le m\le Y_n+t\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=1-\alpha$

on obtient donc le :

Modèle:Théorème
​ Modèle:Définition

Exemple

On suppose que la durée de vie d'un composant électrique, exprimée en heures,

suit une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart-type $\sigma =20h$

Une étude sur un échantillon de 16 composants donne une durée de vie moyenne de Modèle:Unité.

Déterminer un intervalle de confiance pour m au seuil de risque de 10%.