Statistique inférentielle/Intervalle de confiance

Estimation d'une fréquence

Exemple d'un sondage

Avant une élection, un candidat veut estimer le pourcentage p de voix qu’il va obtenir. Mais il ne peut pas interroger tous les électeurs, sauf à faire une élection avant l’heure ! Il va donc commander un sondage sur un "échantillon représentatif" (terme à préciser) de la population et obtenir une estimation $\hat{p}$ de son futur score.

Plusieurs questions se posent alors :

• Quelle précision peut-il escompter d'un tel sondage ?
• Quelle taille l'échantillon doit-il avoir pour obtenir une précision donnée ?
• Que signifie "représentatif" ?

Intervalle de confiance Bilatéral

Exemple

Si le sondage donne 40 % d'intentions de vote pour le candidat, avec une incertitude de 1 %, avec un niveau de confiance de 95 %, cela signifie que l'intervalle $[39;41]$ est un intervalle de confiance bilatéral au niveau de confiance 0,95 pour p.

Intervalles de confiances Unilatéraux

Parfois il peut arriver que l’on cherche à connaître la borne maximale (ou minimale) d'un paramètre. Dans ce cas on utilise un intervalle de confiance qui n’est pas symétrique comme dans les intervalles de confiance bilatéraux, mais asymétrique.

Il en existe de 2 sortes :

Intervalle de confiance Bilatéral à 95%

Exemple

Si le candidat demande un sondage au niveau de confiance de 95% sur 1000 personnes, quel intervalle de confiance obtient-il ?

Remarques :

• Ce théorème approximatif ne peut se démontrer qu’à l'aide de la théorie des probabilités vue dans l'enseignement supérieur.
• Il permet cependant de constater que pour multiplier la précision par 10, il faut multiplier par 100 la taille de l'échantillon, ce qui est très coûteux.

Exercice

Le candidat veut connaître son futur score à 0,1 % près, avec un niveau de confiance de 95 %. Combien de personnes faut-il interroger ?