Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre

Résolutions simples

Équations homogènes à coefficients constants

1. Déterminer la solution générale de l'équation $y^{\prime }+2y=0$
2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : $y(0)=2$
3. Déterminer celle vérifiant la condition initiale : $y^{\prime }(0)=y(0)$

Modèle:Solution Déterminer la solution de $y^{\prime }=y$ avec la condition $y(1)-y(0)=1$ Modèle:Solution

Équations à coefficients constants avec second membre

1. Déterminer la solution générale de l'équation $y^{\prime }+2y=3$
2. Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : $y(0)=-1$.

Modèle:Solution Trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur $ℝ$ vérifiant : $f^{\prime }(t)-f(t)=3\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(s)\mathrm{d}s$ et $f(0)=1$ Modèle:Solution

Équations à coefficients constants avec second membre variable

1.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation $y^{\prime }-2y=-4t$ ;

b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : $y(0)=3$.

Modèle:Solution 2.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation $2y^{\prime }-y=-t^2+5t$ ;

b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : $y(-1)=5$.

Modèle:Solution 3.  Déterminer :

a)  la solution générale de l'équation $y^{\prime }+2y=(x-2{)}^2$ ;

b)  la solution unique vérifiant la condition initiale : $y(1)=1$.

Modèle:Solution 4.  Résoudre $y^{\prime }-3y=(3x^2+1){\mathrm{e}}^{2x}$. Modèle:Solution 5.  Résoudre $y^{\prime }+2y={\mathrm{e}}^{-2x}\cos x$. Modèle:Solution 6.  Résoudre $y^{\prime }+y=2{\mathrm{e}}^x+4\sin x+3\cos x$. Modèle:Solution 7.  Soient $\alpha ,\beta \in ℝ$ et $Q$ un polynôme de degré $n$. On considère l'équation $(E_3):u^{\prime }-\alpha u=Q(x){\mathrm{e}}^{\beta x}$.

a)  À quelle condition sur $P$ la fonction $u(x):=P(x){\mathrm{e}}^{\beta x}$ est-elle solution de $(E_3)$ ?

b)  On suppose $\beta \ne \alpha$. Montrer que l'application ${ℝ}_n[X]\to {ℝ}_n[X],P\mapsto P^{\prime }+(\beta -\alpha )P$ est linéaire, injective et surjective. En déduire que $(E_3)$ admet une solution particulière de la forme $u(x)=P(x){\mathrm{e}}^{\beta x}$ avec $P$ polynôme de même degré que $Q$.

c)  On suppose $\beta =\alpha$. Montrer que $(E_3)$ admet une solution particulière de la forme $u(x)=P(x){\mathrm{e}}^{\beta x}$ avec $P$ polynôme, et préciser le degré de $P$.

Modèle:Solution 8.  Résoudre le problème de Cauchy : $y^{\prime }+\alpha y={\sin }^{2}x,y(0)=0$. Modèle:Solution

Équations homogènes à coefficients variables

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation $y^{\prime }-2ty=0$.

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : $y(0)=-2$.

Modèle:Solution 2.  On considère l'équation $(E_1):x{u}^{\prime }-3u=0$.

a)  Résoudre $(E_1)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis sur $]-\mathrm{\infty },0[$. Vérifier que sur chacun de ces intervalles, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.

b)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ avec la condition initiale : $u(1)=2$.

c)  Résoudre $(E_1)$ sur $ℝ$. Vérifier que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?

d)  Résoudre le problème de Cauchy associé sur $ℝ$ avec la condition initiale : $u(0)=1$.

e)  Résoudre de même $(E_2):(x-1)y^{\prime }=3y$.

Modèle:Solution 3.  Résoudre :

a)  $(1+x^2)y^{\prime }+y=0$ ;

b)  $y^{\prime }+y\tan x=0$, pour $x\in ]\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}[$ ;

c)  $x^k{y}^{\prime }=y$, où $k\in \mathbb{Z}$ ;

d)  $y^{\prime }{\sin }^{3}x=2y\cos x$.

Modèle:Solution 4.  Trouver toutes les applications continues $f:ℝ\to ℝ$ telles que $2xf(x)=3\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ (poser $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$). Modèle:Solution 5.  Déterminer l'ensemble des fonctions continues sur $ℝ$ vérifiant : $tf(t)=3\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)\mathrm{d}s$ et préciser leur régularité. Modèle:Solution 6.

• Écrire l'équation de la tangente en $(t,f(t))$ au graphe $G_f$ de la fonction $f$ dérivable sur $ℝ$.
• Déterminer l'ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $ℝ$ telles qu'en tout point, la tangente à $G_f$ passe par $(0,0)$.

Équations à coefficients variables avec second membre

1.  a)  Déterminer la solution générale de l'équation $y^{\prime }-2ty=-2t$.

b)  Déterminer la solution unique vérifiant la condition initiale : $y(0)=-2$.

Modèle:Solution 2.  On considère l'équation $(E_2):\sqrt{|x|}{u}^{\prime }-u=x$.

a)  Résoudre l'équation homogène associée à $(E_2)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis sur $]-\mathrm{\infty },0[$.

b)  Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver la solution générale de $(E_2)$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

c)  Déterminer la solution générale de $(E_2)$ sur $]-\mathrm{\infty },0[$.

d)  Déterminer la solution générale de $(E_2)$ sur $ℝ$.

e)  Résoudre de même $|x|y^{\prime }+y=x^2$.

Modèle:Solution 3.  Résoudre :

1. $x^{\prime }(t)+\frac{\alpha }{t}x(t)=\beta t,x(1)=1$, en supposant $\alpha \ne -2$.
2. $x(1+{\ln }^{2}x)y^{\prime }+2y\ln x=1,y(\mathrm{e})=1$.
3. $x{y}^{\prime }-2y=x^3\sin x,y(\pi /2)=1$.
4. $x{y}^{\prime }-y=x^3,y(1)=0$.
5. $x{y}^{\prime }-y=4x^3\cos (2x)$, sur ${ℝ}_{+}^{*}$.
6. $x{y}^{\prime }-y=x$, sur ${ℝ}_{+}^{*}$.
7. $y^{\prime }-y\tan x={\cos }^{2}x$, $y(0)=\lambda \in ℝ$.
8. $y^{\prime }\cos x+y\sin x=1$.
9. $y^{\prime }\cos x+y\sin x={\cos }^{2}x$.

Modèle:Solution 4.  Dans cet exercice, on notera $f$ la fonction définie par $f(x)=-{\mathrm{e}}^{1/x}$ (pour $x\ne 0$).

1. Démontrer que pour tout $x\ne 0$,

   $x^3{f}^{\prime }(x)=(x-1){\mathrm{e}}^{1/x}-f(x)$.

2. Résoudre l'équation différentielle suivante pour $x>0$ :

   $(H)x^3{y}^{\prime }+y=0$.

3. Donner la solution $S$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ de l'équation différentielle

   $(E)x^3{y}^{\prime }+y=(x-1){\mathrm{e}}^{1/x}$

   qui vérifie $S(1)=\mathrm{e}$.

Résolutions générales d'équations complètes

Intégrer les équations suivantes :

1. $(1+x^2)y^{\prime }+2xy=1+3x^2$

2. $x(1+x^2)y^{\prime }+(1+x^2)y=x$

3. $(x^2-1)y^{\prime }+xy=x$

4. $(1-x^2)y^{\prime }+4xy=ax$, où $a$ est un réel donné.

5. $(x^2-1)y^{\prime }+xy+\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}=0$

6. $y^{\prime }-\left(\frac{1+3x^2}{x(1+x^2)}\right)y=x\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$

7. $y^{\prime }+\frac{3x+4}{2x(x+1)}y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

8. $y^{\prime }+x^{2}y=x^2$

9. $y^{\prime }+2xy={\mathrm{e}}^{x-x^2}$

10. $(x^2+1)y^{\prime }-xy=x^3+x$

11. $y^{\prime }-\frac{2}{x+1}y=(x+1{)}^3$

12. $x(1+x^2)y^{\prime }-(x^2-1)y+2x=0$

13. $y^{\prime }+\frac{x}{x^2+1}y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ Modèle:Solution

Problème de la fourmi sur un élastique

Modèle:Wikipédia Un élastique, de longueur initiale $\ell$, a une extrémité fixe $O$ et une extrémité mobile $M$, qui s'éloigne de $O$, sur $(Ox)$, à une vitesse constante $v>0$. Une fourmi, initialement en $O$, marche sur l'élastique à vitesse constante $w$. Arrivera-t-elle au bout de l'élastique ? Modèle:Clr Modèle:Solution

Système différentiel à coefficients constants

Système homogène, matrice diagonalisable

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 3& -2& 0\\ -2& 2& 1\end{array}\right)$. Résoudre $X^{\prime }=AX$. Modèle:Solution

Résoudre le problème de Cauchy

$X^{\prime }=AX,X(0)=X_0$,

où

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ -1& 1& -1& 0\end{array}\right)$ et $X_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.

Système non homogène, matrice diagonalisable

Résoudre le système différentiel :

$y^{\prime }=2y+z-5t,z^{\prime }=3y+4z+6$.

Résoudre le système différentiel

$X^{\prime }\left(t\right)=AX\left(t\right)+B\left(t\right)$

d'inconnue $X:ℝ\to {ℝ}^3$, où

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -4\\ -2& 3& 2\\ 3& -3& -4\end{array}\right)$ et $B\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}-t\\ -2t+2\\ -1\end{array}\right)$.

Système homogène, matrice non diagonalisable

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$. Résoudre $X^{\prime }=AX$. Modèle:Solution

Résoudre le système différentiel

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-y+3z\\ y^{\prime }=-2x+2y+2z\\ z^{\prime }=-x+y+5z\end{array}$ où les inconnues sont les fonctions $x,y,z:ℝ\to ℝ$.

Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$. Résoudre $X^{\prime }=AX$. Modèle:Solution

Courbes et équations différentielles

Soit $A\in M_2(ℝ)$ et $X_0\in {ℝ}^2$. On considère le système différentiel

$\{\begin{array}{c}{X}^{\prime }(t)=AX(t),\\ X(0)=X_0\end{array}$.

Le but est de tracer dans le plan $(Oxy)$ la trajectoire de la solution

$t\mapsto X(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$.

Le cas où la matrice A est diagonale

On considère

$A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right)$.

Tracer l'allure de la courbe $t\mapsto X(t)$ dans les cas suivants :

a) $0<\lambda <\mu$,

b) $0=\lambda <\mu$,

c) $\lambda <0<\mu$,

d) $\lambda <0=\mu$,

e) $\lambda <\mu <0$. Modèle:Solution

Le cas où la matrice A est diagonalisable dans MModèle:Ind(ℝ)

On suppose que $A$ a deux valeurs propres réelles distinctes, et donc on est dans un des cas précédents, au niveau des valeurs propres. Quelle allure auront les trajectoires ? Modèle:Solution

Le cas typique où la matrice A est diagonalisable dans MModèle:Ind(ℂ)

Soient $\lambda \in ℝ$ et $\mu \in {ℝ}^{*}$. On considère

$A=\left(\begin{array}{cc}\lambda & -\mu \\ \mu & \lambda \end{array}\right)$.

a) Déterminer les valeurs propres de $A$.

b) Montrer que la solution est

$X(t)={\mathrm{e}}^{\lambda t}{R}_{\mu t}(X_0)$,

où $R_{\theta }$ désigne la rotation d'angle $\theta$.

En déduire l'allure de la solution $t\mapsto X(t)$. Modèle:Solution