Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy

La formule intégrale de Cauchy

Cette formule est très importante en analyse complexe. Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe. Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés).

Modèle:Théorème

Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si $\gamma$ est un chemin qui « entoure » (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point $z_0$ dans $\mathrm{\Omega }$, $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{f(u)}{u-z_0}\mathrm{d}u$ donne la valeur de la fonction $f$ en $z_0$.

Représentation intégrale d'une fonction et de ses dérivées

Le théorème suivant donne des informations sur $f$ et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : $D(f(z))=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }D\underset{\gamma }{\int }\frac{f(u)}{u-z}\mathrm{d}u=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }\underset{\gamma }{\int }D\frac{f(u)}{u-z}\mathrm{d}u$. On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible. Modèle:Théorème

Inégalité de Cauchy

Cette inégalité découle de la représentation intégrale des dérivées d'une fonction holomorphe sur un ouvert et donne une majoration de celles-ci. Modèle:Théorème

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