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Exercice 1-1

Les applications suivantes sont-elles des formes quadratiques ?

1. $\begin{array}{ccccc}Q& :& ℝ[X]& \to & ℝ\\ & & P& \mapsto & 2P(0)P(1)\end{array}$
2. $\begin{array}{ccccc}Q& :& 𝒞([a,b],ℝ)& \to & ℝ\\ & & f& \mapsto & \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\phi \end{array}(\phi \in 𝒞([a,b],ℝ))$
3. $\begin{array}{ccccc}Q& :& {ℝ}^2& \to & ℝ\\ & & (x,y)& \mapsto & x^3-2xy+y^2\end{array}$

Modèle:Solution Modèle:Solution Modèle:Solution L'application $q$ définie sur ${ℝ}^2$ par : $q(x,y)=0$ si $xy=0$, $q(x,y)=x^2+y^2$ si $xy\ne 0$ est-elle une forme quadratique ? Modèle:Solution

Exercice 1-2

Soit $b$ la forme bilinéaire symétrique sur ${ℝ}^3$ de matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 5\end{array}\right)$.

Quel est le noyau de $b$, le rang de $b$ ?

Trouvez une base de l'orthogonal pour $b$ de

$F=\mathrm{Vec}(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right))\text{et de}G=\mathrm{Vec}(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right))$.

Comparer avec le théorème du cours sur la dimension de l'orthogonal. Modèle:Solution