Puissances/Les puissances de 10 et leur usage scientifique

Puissances de 10

On a :

$\begin{array}{ccc}10^2& =10\times 10& =100\\ 10^3& =10\times 10\times 10& =1000\\ 10^4& =10\times 10\times 10\times 10& =10000\end{array}$

plus généralement si n est un entier positif:

$10^n=\stackrel{n\text{ fois}}{\overbrace{10\times \cdots \times 10}}=1\stackrel{n\text{ zéros}}{\overbrace{0\cdots 0}}$

et l'on note :

$10^{-n}=\frac{1}{10^n}=\stackrel{n\text{ zéros}}{\overbrace{0,0\cdots }}1$

Exemples

• 10³ = 1 000, 10¹=10 ,10⁰ = 1
• 10⁶ = 1 000 000, 10⁹ = un milliard
• 10⁻³ = un millième, 10⁻⁶ = un millionième

Règles pour multiplier par une puissance de 10

Modèle:Début cadre Si n est un entier positif

• Multiplier un nombre décimal par $10^n$ revient à déplacer sa virgule de n rangs vers la droite
• Multiplier un nombre décimal par $10^{-n}$ revient à déplacer sa virgule de n rangs vers la gauche

Exemples

• $3,2\times 10^3=$$3200$
• $4\times 10^{-2}=$$0,04$
• $400\times 10^{-5}=$$0,004$

Exercices

Faites des exercices pour vous familiariser avec les puissances de 10.

Écriture scientifique

Modèle:Début cadre L'écriture scientifique d’un nombre est de la forme :

$\pm ◻,◊◊\cdots ◊\times 10^{\pm \mathrm{△}}$

où $◻$ est un chiffre non nul ; $◊$ est un chiffre et $\mathrm{△}$ est un entier. Modèle:Fin cadre

Exemples

• L'écriture scientifique de $124,3$ est :

$1,243\times 10^2$

• Donner les écritures scientifiques de : 12{,}3 ; 3254 ; 0{,}00125 ; 9{,}3.

Écriture d'ingénieur

Modèle:Début cadre L'écriture d'ingénieur d’un nombre est de la forme :

$\pm ◻\times 10^{\pm \mathrm{△}}$

où $◻$ est un nombre entier ou décimal à 3 chiffres significatifs compris entre 0 et 1000 et $\mathrm{△}$ est un entier multiple de 3. Modèle:Fin cadre cette notation a le gros avantage de pouvoir faire une liaison directe avec les multiples et sous-multiples d'unités.

Exemples

• $17,3.10^3$
• $172.10^9$
• $8,46.10^{-6}$

Exercices

Faites des exercices pour apprendre à passer de l'écriture décimale à l'écriture d'ingénieur et réciproquement.

Exposants non entiers

Exemple : calcul de $10^{1,234}$.

$10^{1,234}=10^{1+0,234}=10^1\times 10^{0,234}=10\times 10^{0,234}.$

Une table de logarithmes à 5 décimales donne

x	log(x)	diff
1713	233 76	25
1714	234 01	...
…	…	...
10Modèle:Exp	y	diff

qui se lit : $10^{0,23376}=1,713$ et $10^{0,23401}=1,714.$ Une interpolation linéaire suggère alors $10^{0,234}=1,71396.$

D'où $10^{1,234}=17,1396.$