Conduction thermique/Annexe/Ailette

Une ailette est un dispositif thermique visant à augmenter la surface de contact avec un fluide extérieur pour augmenter les échanges convectifs, et donc le transfert de chaleur.

Principe d'une ailette thermique.

L'ailette est le corps chaud, la chaleur se propage par conduction à travers l'ailette qui est refroidi par convection par le fluide environnant.

Mise en équation

On travaille ici avec une ailette à section constante. On supposera que le flux est mono-dimensionnel, c'est-à-dire que le flux à l'intérieur d'une section, du cœur vers la surface de l'ailette, est négligeable devant le flux traversant la section.

On supposera également le coefficient h constant quelle que soit la température et la position de la surface. Cette hypothèse devient fausse à haute température quand les transferts radiatifs deviennent prépondérants.

Caractéristique géométrique de l'ailette.

Bilan thermique sur une section dx.

On réalise le bilan énergétique d'une section dx.

• ${\mathrm{\Phi }}_x$: flux conductif en x ;
• ${\mathrm{\Phi }}_{x+\mathrm{d}x}$: flux conductif en x + dx ;
• ${\mathrm{\Phi }}_{cv}$: perte convective entre x et x + dx ;
• h : coefficient d'échange convectif ;
• s : section de l'ailette ;
• p : périmètre de l'ailette .

$\stackrel{\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{f}}{\overbrace{{\mathrm{\Phi }}_x-{\mathrm{\Phi }}_{x+\mathrm{d}x}}}+\stackrel{\mathrm{P}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{g}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{n}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}{\overbrace{P(x)s\mathrm{d}x}}=\stackrel{\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}{\overbrace{hp\mathrm{d}x[T(x)-T_f]}}$

Le bilan conductif s'exprime grâce à la loi de Fourier:

$[-k\frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}{|}_{x}s]-[-k\frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}{|}_{x+\mathrm{d}x}s]+P(x)s\mathrm{d}x=hp\mathrm{d}x[T(x)-T_f]$

Avec $k$ la conductivité thermique du matériau qui compose l'ailette.

$ks\frac{\frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}{|}_{x+\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}T(x)}{\mathrm{d}x}{|}_x}{\mathrm{d}x}+P(x)s=hp[T(x)-T_f]$

La section dx est infiniment petite donc : $\mathrm{d}x\to 0$

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}T(x)}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{hp}{ks}[T(x)-T_f]=-\frac{P(x)}{k}$

Cette équation est appelée équation de l'ailette. Le plus souvent la puissance générée est nulle auquel cas l'équation de l'ailette devient :

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}T(x)}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{hp}{ks}[T(x)-T_f]=0$

On définit m le paramètre de l'ailette : $m^2=\frac{hp}{ks}$

L'hypothèse de flux mono-dimensionnel faite au début du calcul est valide si le nombre de Biot est petit devant 1 (par exemple <0,1). Le nombre de Biot est ici défini par: $Bi=\frac{hs}{kp}$

Résolution de l'équation de l'ailette

Méthode du changement de variable

On pose un changement de variable : $\theta (x)=T(x)-T_f$

L'équation devient :

$\frac{{\mathrm{d}}^2\theta (x)}{\mathrm{d}{x}^2}-m^2\theta (x)=0$

Solution de la forme :

$\theta (x)=A{e}^{-mx}+B{e}^{mx}$

A et B sont deux constantes d'intégration qui sont identifiées avec deux conditions aux limites. Après identification de A et B le changement de variable est fait en T(x).

Autre méthode

Solution = Solution de l'équation homogène associée + une solution particulière

• Équation homogène associée : $\frac{{\mathrm{d}}^{2}T(x)}{\mathrm{d}{x}^2}-m^{2}T(x)=0$ Solution en : $T(x)=C{e}^{-mx}+D{e}^{mx}$
• Solution particulière : $T_{part}=T_f$

La solution générale s'écrit :

$T(x)=T_f+C{e}^{-mx}+D{e}^{mx}$

Efficacité et rendement d'une ailette

• Efficacité d'une ailette :

${\eta }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=\frac{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{x}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{u}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}{\mathrm{l}}^{\prime }\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{u}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}{\mathrm{l}}^{\prime }\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}}$

• Rendement d'une ailette :

${\eta }_{\mathrm{r}\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{x}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{u}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}{\mathrm{l}}^{\prime }\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{u}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}}$

Cas d'une ailette thermiquement infinie

Une ailette est dite thermiquement infinie quand la température au bout de l'ailette est considérée comme égale à la température du fluide qui entoure l'ailette. (Condition aux limites de première espèce)

Conditions aux limites :

• en x = 0 : $T(x)=T_0$
• en x = L : $T(x)=T_f$

Avec le changement de variable $\theta (x)=T(x)-T_f$ les conditions aux limites deviennent :

• en x = 0 : $\theta (x)={\theta }_0=T_0-T_f$
• en x = L : $\theta (x)=0$

Résolution avec : $\theta (x)=A{e}^{-mx}+B{e}^{mx}$

en x = L : $A{e}^{-mL}+B{e}^{mL}=0$

Thermiquement infinie donc $e^{-mL}\to 0$

Ainsi: $B=0$

et $A=T_0-T_f$

On obtient: $\theta (x)=(T_0-T_f)e^{-mx}$

En résolvant l'équation du second degrés avec la nouvelle solution ($\theta (x)=(T_0-T_f)e^{-mx}$ )

On peut obtenir la Résistance thermique de l'ailette de longueur infinie:

qui est: $R_a=\frac{1}{\sqrt[]{hp.ks}}$

Cas d'une ailette mince

Une ailette est dite mince quand le flux en bout d'ailette est nul. (Condition aux limites de deuxième espèce)

Cas d'une ailette réelle

Conditions aux limites de troisième espèce, c'est-à-dire une condition de convection de type : $-k\cdot \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}x}=h\cdot (T_p-T_{inf})$.