Trigonométrie/Annexe/Cercle trigonométrique et radians

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique.

• Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique direct.
• L'origine dite « de décompte angulaire » sera le point I d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère.

Les angles en radians

Exemple

Dans la figure ci-contre, le point $M$ est tel que l'angle $\widehat{IOM}$ vaut 45 degrés. L'arc $\stackrel{\curvearrowright }{IM}$ a pour longueur le huitième de la circonférence du cercle : $2\pi$, c'est-à-dire $\frac{\pi }{4}$.

L'angle orienté $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ a donc pour mesure en radians $\frac{\pi }{4}$.

Elle est positive car cet arc est orienté dans le sens positif.

Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés $\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\dots$. Modèle:Clr

Un angle possède une infinité de mesures

La notion de mesure d'un angle peut être étendue à des nombres supérieurs à $2\pi$ (c'est-à-dire supérieurs à 360°).

Par exemple : mesure de 100 radians, il faut imaginer une ficelle de 100 unités qui s'enroulerait autour du cercle trigonométrique dans le sens direct.

Exemples

• Sur le cercle trigonométrique, les valeurs $0$ et $2\pi$ se trouvent confondues.

  Il en est d'ailleurs de même pour $2\pi ,4\pi ,-2\pi ,-4\pi \dots$.

• L'angle de mesure $\frac{\pi }{5}$ a aussi pour mesure $\frac{11\pi }{5}$ ainsi que $-\frac{9\pi }{5}$, $\frac{21\pi }{5}$ ou $-\frac{19\pi }{5}$.

Mesure principale

Dans l'exemple précédent, la mesure principale est $\frac{\pi }{5}$.

Conversion degrés-radians

La conversion degrés-radians se fait facilement en utilisant les formules :

La figure ci-dessous donne quelques correspondances à connaître :