Espace euclidien/Formes bilinéaires symétriques et quadratiques

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n.

Matrice d'une forme bilinéaire symétrique

Soient :

• $f\in {𝒮}_2(E)$
• Q la forme quadratique associée à ƒ
• $e=(e_1,\cdots ,e_n)$ une base de E
• $x=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i$ et $y=\sum _{i=1}^n{y}_i{e}_i$ deux vecteurs de E

On a :

$f(x,y)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{y}_{j}f(e_i,e_j)$

Matrice de la forme quadratique associée

Si on s'intéresse au calcul de Q, on obtient :

$\begin{array}{cc}Q(x)& =f(x,x)\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{x}_{j}f(e_i,e_j)\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i^{2}f(e_i,e_i)+2\sum _{i=1}^n\sum _{j<i}{x}_i{x}_{j}f(e_i,e_j)\end{array}$

Toutes ces considérations seront utiles dans l'étude des [[../Coniques/|coniques]] et des [[../Quadriques/|quadriques]] d'un espace euclidien.