Limites d'une fonction/Droites asymptotes

Définition qualitative

On peut classer les asymptotes en trois « catégories » :

• Les asymptotes horizontales
• Les asymptotes verticales
• Les asymptotes obliques

Asymptote horizontale

Prenons la fonction inverse. On sait que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$

Ceci montre que la courbe de la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses, qui est la droite d'équation $y=0$.

On dit alors que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en +∞.

De même, on a $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$, donc l’axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en -∞. Modèle:Clr Modèle:Définition

Asymptote verticale

Prenons à présent la fonction $x\mapsto \frac{1}{x-x_1}$, dont la courbe $𝒞$ est représentée ci-contre.

On a $\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }\frac{1}{x-x_1}=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-x_1}=-\mathrm{\infty }$.

On voit donc bien que $𝒞$ se rapproche de plus en plus de la droite verticale tracée en bleu lorsque x tend vers x₁. La droite en bleu a pour équation $x=x_1$

On dit que $𝒞$ a pour asymptote verticale la droite d'équation $x=x_1$ en x₁.

Asymptote oblique

Exemple 1

1. Déterminer le comportement de ƒ en $+\mathrm{\infty }$

On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $x\in [0;+\mathrm{\infty }[,f(x)=...$

Or $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cdots =\cdots$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cdots =\cdots$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=...$

2. On note $E:x\mapsto f(x)-(x-1)$. Pour tout $x\in {ℝ}^{+}$, donner l’expression de E(x).

Soit $x\in {ℝ}^{+}$

$E(x)=\cdots$

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cdots =\cdots$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }E(x)=\cdots$

4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

Théorème général sur les asymptotes obliques

Dans l'exemple précédent, $E(x)=...$ et l'asymptote est ...

Dans l'exemple précédent, $E(x)=...$.

Dans l'exemple précédent :

$\begin{array}{cccc}x& 0& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Signe~de}E(x)& & & \\ \text{Position}& & & \end{array}$

Exemple 2

1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $x\in I,g(x)=\cdots$

Or, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cdots =\cdots$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cdots =\cdots$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\cdots$

2. Trouver a et b tels que pour tout $x\in I,g(x)=ax+b-\frac{1}{x-2}$

$\{\begin{array}{c}a=\cdots \\ b=\cdots \end{array}$

3. On pose pour tout $x\in I,E(x)=g(x)-(ax+b)$. Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

Pour tout $x\in I,E(x)=\cdots$

Or $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cdots =\cdots$

Donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }E(x)=\cdots$

On a les positions relatives :

$\begin{array}{cccc}x& 0& & +\mathrm{\infty }\\ \text{Signe~de}E(x)& & & \\ \text{Position}& & & \end{array}$

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