Introduction à l'acoustique/Modes propres

Jusqu'ici, nous avons considéré que les ondes se propageaient dans des milieux « infinis ». Si cela est un modèle acceptable dans certaines conditions, il est difficile de s'y tenir pour faire des expériences — lesquelles seront toujours délimitées dans l'espace.

Nous montrerons que, bien qu'une infinité de tels « modes » existent, on peut les dénombrer (c'est-à-dire qu’il y a un mode 1, un mode 2, 3 ... mais pas de mode 1,2 ou 4,78 par exemple). D'autre part, nous montrerons comment l'étude de ces modes propres suffit à étudier tout problème d'onde (au premier ordre) dans le milieu.

Pour cela, nous considèrerons la vitesse (au lieu de la pression) qui a le bon goût de s'annuler aux limites de notre système d'étude, fournissant ainsi des conditions de bord. Cela est avant tout une question de simplicité — on peut tout à fait mener l'étude avec la pression, qui forme des « ventres » près des murs — mais cela est plus difficile à justifier physiquement.

Position du problème

On considère un problème à une dimension, par exemple un tube très fin et relativement long (de longueur L) — une paille ou une fibre optique. Nous cherchons les solutions stationnaires à l'équation d'onde pour v (c'est-à-dire une solution stationnaire de l'équation de d'Alembert) qui satisfasse les conditions de nullité aux bords.

L'équation de d'Alembert vérifiée par la vitesse, projetée sur l'axe, est :

$\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}=0.$

Les conditions de bord sont :

$v(-\frac{L}{2})=0;$

$v(+\frac{L}{2})=0.$

On suppose connue l'amplitude de ces ondes, notée A.

Résolution

On cherche des solutions stationnaires, c'est-à-dire de la forme :

$v(x,t)=A\cos (kx)\cos (\omega t).$

Relation de dispersion

Alors, l'équation de d'Alembert s'écrit :

$-A{k}^2\cos \left(\omega t\right)\cos \left(kx\right)+A\frac{{\omega }^2}{c^2}\cos \left(\omega t\right)\cos \left(kx\right)=0.$

On obtient :

$-k^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}=0.$

D'où une première relation, qui n’est pas fondamentale, mais qui nous ramène à une seule inconnue (le nombre d'onde k) :

${\omega }^2={\left(ck\right)}^2.$

Cette équation est appelée « relation de dispersion ».

Nombres d'onde

Vérifions maintenant dans quels cas les conditions aux limites sont vérifiées.

À compléter...

On peut voir déjà que tous les paramètres de l'onde sont fixés : vitesse (par le milieu), amplitude (par l'opérateur), nombre d'onde et pulsation.

Longueur d'onde

Pour mieux comprendre ce que sont ces modes propres, calculons la longueur d'onde qui leur est associée :

La longueur d'onde (en mètres) est égale à la célérité divisée par la fréquence (on pourrait aussi dire que c’est le produit de la célérité et de la période).

Son symbole est la lettre "lambda".

Un exemple: Sachant que la célérité du son dans l'air (à Modèle:Unité) est de Modèle:Unité par seconde, la longueur d'onde correspondante a une fréquence de Modèle:Unité est Modèle:Unité.