Introduction à la mécanique quantique/Annexe/Solutions exactes

Il existe un ensemble relativement restreint de solutions exactes à l'équation de Schrödinger. En voici quelques unes, sans démonstration.

Particule libre

La fonction d'onde d'une particule libre possédant une quantité de mouvement $𝐩$ et une énergie $ℰ$ est de la forme :

$\mathrm{\Psi }=\mathrm{C}\exp \left[\frac{i}{\hslash }(𝐩\cdot 𝐫-ℰt)\right]$

Avec $\lambda =2\pi \hslash /p$ la longueur d'onde de de Broglie associée à la particule. La mécanique classique correspond au cas limite d'une longueur d'onde de de Broglie nulle.

Puits de potentiel

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un puits de potentiel de largeur $a$ sont quantifiés et tendent vers l'infini :

${ℰ}_n=\frac{{\hslash }^2}{2m}{\pi }^2\frac{n^2}{a^2}(n=1,2,3,...)$

La fonction d'onde de l'état stationnaire est alors :

${\psi }_n(x)=\mathrm{C}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)(0<x<a)$

Oscillateur harmonique

Les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont :

${ℰ}_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega (n=0,1,2,...)$

La fonction d'onde en régime stationnaire est de la forme :

${\psi }_n(x)=\mathrm{C}{e}^{-\frac{(\alpha x{)}^2}{2}}{H}_n(\alpha x),\alpha =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}$

où les $H_n$ sont les polynômes d'Hermite.

Particule dans un potentiel à symétrie sphérique

La fonction d'onde d'une particule dans un potentiel $U=(r)$ est de la forme :

$\psi =R(r)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )$

où les $Y_{l,m}$ sont les harmoniques sphériques. Les états correspondant aux valeurs $l=0,1,2,3,4,...$ du moment angulaire sont indiqués par les lettres $s,p,d,f,g,...$. Il est intéressant de remarquer que l’on peut séparer la partie « radiale » (qui dépend de r uniquement) de la partie « angulaire » (qui dépend des deux paramètres angulaires).

Particule dans un champ coulombien

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un potentiel coulombien attractif $U=-\alpha /r$ sont :

${ℰ}_n=-\frac{m{\alpha }^2}{2{\hslash }^2}\cdot \frac{1}{n^2}(n=1,2,3,...)$

La partie radiale de la fonction d'onde associée à l'état stationnaire ($\alpha ,m,\hslash$ étant ramenés à l'unité) est :

$R_{n,l}=\mathrm{C}{e}^{-r/n}{\left(\frac{2r}{n}\right)}^l{L}_{n+l}^{2l+1}(2r/n)$

où les $L_{n+l}^{2l+1}$ sont les polynômes généralisés de Laguerre.

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