Topologie générale/Connexité

La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de $ℝ$ est connexe, mais la réunion de deux segments disjoints ne l'est pas.

Espaces et ensembles connexes

L'espace vert est connexe alors que l'espace bleu ne l'est pas.

Une autre condition équivalente est : $E$ est connexe si pour toute décomposition $E=U\cup V$, où $U,V\subset E$ sont des ouverts disjoints, on a : $U$ ou $V$ est vide.

Modèle:Proposition

La réunion d'espace connexes n’est pas généralement connexe : les intervalles $[0,1]$ et $[2,3]$ le sont mais leur réunion ne l'est pas.

Application définie sur un connexe

Modèle:Proposition

Composantes connexes et connexité locale

Composante connexe

Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point $x$ d’un espace topologique $E$ l'est donc : c’est la plus grande partie connexe de $E$ contenant $x$.

On dit qu'un espace est totalement discontinu si la composante connexe de chacun de ses points est l’ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.

Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).

Connexité locale

Dans un espace topologique, V est un voisinage de p et contient un voisinage connexe de p (le disque vert fonçé).

Modèle:Exemple

Connexité par arcs

Définitions et premières propriétés

Modèle:Définition

Notion de composante connexe par arcs

Modèle:Définition

La classe de $x$ est alors le plus grand connexe par arcs de $E$ (au sens de l'inclusion) contenant $x$.