Fonction dérivée/Équation d'une tangente

Exemple

On a tracé la courbe représentative d'une fonction ƒ dont on ne précise pas la formule algébrique.

On donne :

$f(-2)=-\frac{1}{4}$ et $f^{\prime }(-2)=-\frac{3}{8}$

Tracer la tangente à la courbe de ƒ au point $(-2,-\frac{1}{4})$

Calculer une équation de cette tangente en utilisant la formule donnant l'équation d'une droite connaissant un point et le coefficient directeur.

Équation d'une tangente

On adapte la formule utilisée précédemment de façon à obtenir une formule donnant directement l'équation de la tangente à une courbe connaissant le nombre dérivé et la valeur de la fonction au point considéré.

Complément : si $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ alors $f$ n’est pas dérivable en $a$, mais la courbe a encore une tangente au point $(a,f(a))$ : la droite verticale d'équation $x=a$.

Approximation affine d'une fonction dérivable en un point

Pour $x$ voisin de $a$, $f(x)$ est proche de la fonction affine $g(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ (la courbe est très proche de sa tangente).

Cette propriété est utile pour les méthodes de résolution numérique d'équations différentielles comme la méthode d'Euler.