Topologie générale/Espace métrique

Modèle:Chapitre

La notion d'espace métrique est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'[[../Espace topologique|espace topologique]], plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.

Définition et exemples

Modèle:Définition

Modèle:Exemple Modèle:Exemple Modèle:Exemple Modèle:Exemple

Boules

Modèle:DéfinitionOn trouve parfois la notation $\bar{B} (c, r)$ pour la boule fermée, cette notation est ambigüe car elle peut aussi s'interpréter comme la fermeture de la boule ouverte. Ces deux interprétations ne concordent pas en général ; par exemple pour la distance discrète on a $B_{F} (c, 1) = X$ et $B (c, 1) = {c}$ . Cette notation abusive est utilisée car elle n'est pas gênante dans les espaces vectoriels pour lesquelles les deux notations concordent.Modèle:Lemme Modèle:Démonstration déroulante Modèle:Corollaire

Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante

Topologie

D'après le corollaire 2, les boules ouvertes de $(E, d)$ constituent une base d'une (unique) topologie sur $E$ . Modèle:Définition On assimile souvent un espace métrique à son espace topologique. Tout espace métrique est séparé et même parfaitement normal.

Les ouverts de cette topologie sont, par définition, les réunions de boules ouvertes. Le corollaire 1 ci-dessus en donne une caractérisation.

Les boules ouvertes sont évidemment des ouverts, et l'on démontre facilement (exercice) que les boules fermées sont des fermés. Par conséquent, l'adhérence de $B (c, r)$ est incluse dans $B_{F} (c, r)$ et l'intérieur de $B_{F} (c, r)$ contient $B (c, r)$ (exercice).

Dans un espace vectoriel normé, pour tout $r > 0$ , ces inclusions sont des égalités (exercice).

Modèle:Attention

Considérer par exemple (exercice) les boules et la topologie associées à une distance discrète.

Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément : Modèle:Proposition C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de $x$ dont le diamètre tend vers $0$ constitue une base de voisinages de $x$ .

Modèle:Proposition Modèle:Démonstration déroulante