Initiation au calcul intégral/Intégrale d’une fonction sur un intervalle

Définition de l'intégrale

La « définition » ci-dessous, bien que prescrite par les programmes, n'est qu'« intuitive » car basée sur la notion d'aire, dont la définition mathématique dépasse largement le niveau de ce cours. Il faut donc se contenter de l'intuition de cette notion, issue de la « connaissance » de l'aire des figures planes usuelles.

On étend ensuite cette définition :

• à une fonction $f$ continue mais non nécessairement positive, en exprimant $f$ comme différence de deux fonctions continues positives, $f=f_{+}-f_{-}$, et en définissant l'intégrale de $f$ comme la différence des intégrales de ces deux fonctions ;
• à l'intégrale de $b$ à $a$ (avec encore $b\ge a$), définie comme l'opposée de l'intégrale de $a$ à $b$.

Remarques

• $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f=0$.
• Dans l'écriture traditionnelle, $x$ est une variable « muette », c'est-à-dire que la lettre choisie est arbitraire, mais ne doit surtout pas être une lettre déjà utilisée par ailleurs (comme ici $a$ ou $b$) : $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(q)\mathrm{d}q$.
• De même que dans l'expression d'une limite, il n'est pas vraiment indispensable de l’écrire, si on l'omet également dans l'expression de la fonction à intégrer : $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$. Mais cette écriture simplifiée n'est possible que si la fonction à intégrer est désignée par une lettre (ici $f$) et non par une formule.

Lien entre intégrale et primitive

À notre niveau, ce théorème ne peut pas être démontré et n'a même pas de signification précise, puisqu'en définitive, l'intégrale n'a pas été définie mathématiquement. On pourrait, à rebours, le prendre comme une définition de l'intégrale d'une fonction continue, en admettant qu'une telle fonction a des primitives.

Remarque

L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, si $G=F+k$ est une autre primitive de $f$ :

$[G{]}_a^b=[F+k{]}_a^b=[F{]}_a^b+[k{]}_a^b=[F{]}_a^b$.

Exemple

Calculer le réel $I:=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x-x^2+1)\mathrm{d}x$ qui, par définition, représente l'aire ci-dessous :

On note : $f:x\mapsto \cdots$.

Donc une primitive de $f$ est : $F:x\mapsto \cdots$.

Et $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x-x^2+1)\mathrm{d}x=\cdots$.