Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale

Exercice 4-1

Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ continue telle que $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$.

Montrer que $f$ est constante et égale à 0 ou 1. Modèle:Solution

Soit $f:[a,b]\to ℝ$ continue. Montrer que $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$ si et seulement si $f$ est de signe constant. Modèle:Solution

Exercice 4-2

Soit $f:[0,1]\to ℝ$ continue telle que $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}.$

Montrer qu’il existe $c\in ]0,1[$ tel que $f(c)=c.$

Exercice 4-3

Montrer que la suite définie par $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ converge et calculer sa limite. Modèle:Solution Calculer de même les limites de

$x_n:=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin {\theta }_{k,n}\text{avec}{\theta }_{k,n}\in [(k-1)\pi /n,k\pi /n],y_n:=n\sum _{k=1}^n\frac{1}{(n+k{)}^2},z_n:=\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum _{k=1}^{n-1}\sqrt{k},t_n:=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k},s_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+2kn}}$.

Exercice 4-4

• Soient $f$ une fonction continue, $T$-périodique sur $ℝ$, et $a<b$ dans $ℝ$. Montrer que $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f=\underset{a+T}{\overset{b+T}{\int }}f$.

• Soit $f$ continue sur $ℝ$, $T$-périodique, telle que $\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=0$. Montrer que $\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\lambda x)\mathrm{d}x=0$.

• Soient $f$ une fonction impaire sur $ℝ$, et $a\ge 0$. Que dire de $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ ? Quid si $f$ est paire ?

Exercice 4-5

Soit $a>0$ et $f:[0,a]\to ℝ$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$. Montrer que :

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f(t){|}^{2}dt\le \frac{a^2}{2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}|f^{\prime }(t){|}^2\mathrm{d}t.$

Exercice 4-6

Soit $a>0$ et $f:[-a,a]\to ℝ$ de classe $C^2$. Montrer que :

$\mathrm{\forall }t\in [-a,a]|f^{\prime }(t)|\le \frac{1}{2a}|f(a)-f(-a)|+\frac{a^2+t^2}{2a}\underset{[-a,a]}{\sup }|f^{″}|$.

Exercice 4-7

Référence : Modèle:Lien web, lemme 7.23

Soient $b,k>0$, $a\in ℝ$ et $g:[0,b]\to ℝ$ une fonction continue telle que

$\mathrm{\forall }t\in [0,b]g\left(t\right)\le at+k\underset{0}{\overset{t}{\int }}g\left(s\right)\mathrm{d}s$.

Démontrer que $\mathrm{\forall }t\in [0,b]g\left(t\right)\le \frac{a}{k}({\mathrm{e}}^{kt}-1)$.

Exercice 4-8

Soient $f$ et $g$ des fonctions continues sur un intervalle $[a,b]$ (avec $a<b$).

On suppose que $f$ est croissante et que $g$ prend ses valeurs dans $[0,1]$. On pose :

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$.

1. Étudier les variations de la fonction $G$ définie par :

   $G(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$.

   Montrer que $a+G(x)\le x$.

2. Comparer les fonctions $\phi$ et $\psi$ définies par :

   $\phi (x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)g(t)\mathrm{d}t$ ;

   $\psi (x)=\underset{a}{\overset{a+G(x)}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

3. Démontrer que :

   $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)g(t)\mathrm{d}t\ge \underset{a}{\overset{a+I}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

   Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Exercice 4-9

Soient $\alpha$ un nombre complexe de partie réelle strictement positive et $f:ℝ\to ℝ$ une application de classe CModèle:Exp telle que $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }(f^{\prime }+\alpha f)=\ell \in ℂ$. Montrer que $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=\frac{\ell }{\alpha }$. Modèle:Solution

Exercice 4-10

Soient $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$ une application continue et $F:{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ,x\mapsto \frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

1. Montrer que si $f$ admet en $+\mathrm{\infty }$ une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }F=\ell$.
2. Donner un exemple où $f$ n'a pas de limite en $+\mathrm{\infty }$ mais $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }F=0$.

Exercice 4-11

Soient $f,g:{ℝ}_{+}\to ℝ$ continues, strictement positives, et équivalentes en $+\mathrm{\infty }$. Montrer que :

• si $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ converge alors $\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\mathrm{d}t\sim x\to +\mathrm{\infty }\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$.
• si $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ diverge alors $\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t\sim x\to +\mathrm{\infty }\underset{0}{\overset{x}{\int }}g(t)\mathrm{d}t$.

Exercice 4-12

Soient $a,b\in ℝ$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction intégrable. Pour $x\in [a,b]$, on pose : $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

1. Soit $M$ un majorant de $|f|$ sur $[a,b]$ (pourquoi un tel $M$ existe-t-il ?). Montrer que pour tous $x,y\in [a,b]$ on a : $|F(y)-F(x)|\le M|y-x|$.
2. En déduire que la fonction $F$ est continue sur $[a,b]$.

Modèle:Solution Soient $a,b\in ℝ$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction bornée, localement intégrable sur $]a,b[$. Montrer que $f$ est intégrable sur $[a,b]$. Modèle:Solution

Exercice 4-13

Soient $a,b\in ℝ$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to ℝ$ une fonction de classe CModèle:Exp. Montrer que :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$.

Modèle:Solution Démontrer la même convergence vers 0 pour une fonction $f:[a,b]\to ℝ$ [[../../Intégrale de Riemann#Intégrale d'une fonction en escalier|en escalier]]. Modèle:Solution Soit $f:[0,1]\to ℝ$ une fonction continue. Montrer que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}n{t}^{n}f(t^n)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

(On pourra faire le changement de variable $u=t^n$.) Modèle:Solution

Exercice 4-14

Pour $x\in ℝ$ on pose

$f(x)=\underset{x}{\overset{2x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $f$ est de classe CModèle:Exp.
2. Montrer que $f$ est impaire.
3. Étudier les variations de $f$ sur ${ℝ}_{+}$.
4. Soit $x>0$.
   1. Montrer que pour tout $t\ge x$ on a : ${\mathrm{e}}^{-t^2}\le {\mathrm{e}}^{-x^2}$.
   2. En déduire que $f(x)\le x{\mathrm{e}}^{-x^2}$.
   3. Étudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Modèle:Solution Pour $x\in {ℝ}^{*}$ on pose

$f(x)=\underset{x}{\overset{3x}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $f$ est bien définie et CModèle:Exp et $f^{\prime }>0$.
2. Montrer qu'elle admet en 0 une limite, que l'on notera $f(0)$.
3. Montrer qu'en 0, $f$ (ainsi prolongée) est dérivable.
4. Calculer ses limites en $+\mathrm{\infty }$ et $-\mathrm{\infty }$.