Variables aléatoires continues/Définitions

Variable aléatoire continue

Quand le résultat d'une expérience aléatoire n’est pas un entier et n'appartient pas à un ensemble fini,

le mieux est de définir la variable aléatoire correspondante directement sur $ℝ$ ou sur un intervalle de $ℝ$.

Fonction de répartition

Propriétés

• Comme une probabilité est toujours inférieure ou égale à 1, on a $F(x)\le 1$.
• Si on englobe toujours plus de valeurs de $ℝ$ dans le calcul, la probabilité augmente et tend vers 1.
• De même, si on englobe de moins en moins de valeurs de $ℝ$, la probabilité tend vers 0.

En résumé : Modèle:Proposition

• Finalement, on admettra sans démonstration que F est continue à droite, et que si la variable aléatoire X ne se concentre pas sur des valeurs spécifiques de $ℝ$, alors F est continue.
• Une fonction de répartition a typiquement cette allure-là :

Densité de probabilité

Propriétés d'une densité de probabilités

• Une densité de probabilité a en général cette allure :

Espérance, variance, moments

Variance et écart-type

Formule

Le calcul de la variance est plus facile avec la formule suivante : Modèle:Théorème

Autres moments

Deux autres moments, bien entendu sous réserve d'existence, sont parfois considérés pour affiner la prévision du comportement d'une variable aléatoire : Modèle:WikipédiaModèle:Wikipédia

• Le coefficient d'asymétrie ${\gamma }_1=𝔼\left(\frac{(X-𝔼(X){)}^3}{{\sigma }^3}\right)=\frac{{\mu }_3}{{\mu }_2^{3/2}}$ permet, selon le signe, de prédire où se trouve l'étalement de la distribution par rapport à l'espérance, soit si la décroissance de la fonction de densité est plus forte à gauche ou à droite.
• Le kurtosis ${\gamma }_2=𝔼\left(\frac{(X-𝔼(X){)}^4}{{\sigma }^4}\right)=\frac{{\mu }_4}{{\mu }_2^2}$ donne une mesure de l'aplatissement de la densité, c'est-à-dire qu’il permet de prédire si la mesure est fortement concentrée autour de l'espérance ou non.

Fonction génératrice des moments

Cette fonction permet de regrouper le calcul de l'intégralité des moments d'une loi, s'ils existent.

Son nom est justifié par le fait qu'en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, on a :

$M_X(t)=𝔼\left({\mathrm{e}}^{tX}\right)=𝔼\left(\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^n{X}^n}{n!}\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}𝔼(X^n)$.

Ainsi, on trouve :

Fonction caractéristique

Cette fonction, semblable à la fonction génératrice mais à valeurs dans $ℂ$, est une autre fonction qui caractérise la loi d'une variable aléatoire.

De même façon que pour la fonction génératrice, on trouve :

Il existe cependant un autre théorème, très important :

Ce théorème sera admis.

Médiane, mode

Quand les moments ne peuvent être calculés, on peut néanmoins donner une idée de l'allure de la densité en déterminant la (ou les) médiane(s) et le(s) mode(s).

La médiane se définit comme une valeur qui permet de séparer en deux parties les échantillons ou la distribution d'une variable aléatoire de sorte que chacune des deux parties contiennent le même nombre de valeurs.

Le mode, quant à lui, représente la valeur la plus représentée dans la densité.

Il n'y a aucune garantie de l'unicité des médianes ou des modes dans le cas général.

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