Matrice/Trace

Dans tout le chapitre, on ne traitera que de matrices carrées. Nous allons introduire la trace, qui constitue un outil de base d'étude des matrices.

Propriétés

Les deux premières propriétés se résument en disant que l'application trace est linéaire. Comme elle est à valeurs dans le corps K des scalaires, on dit que c'est une forme linéaire sur le K-espace vectoriel MModèle:Ind(K).

Compléments

Pour plus de détails sur la trace, voir la leçon de niveau 15 : Trace et transposée de matrice. On y verra en particulier que :

• Réciproquement, toute forme linéaire invariante par similitude est proportionnelle à la trace (exercice corrigé de la leçon « Trace et transposée de matrice »).
• Le fait que la trace soit identique pour deux matrices semblables signifie que la trace d'un endomorphisme est une propriété intrinsèque de l'endomorphisme, peu importe la base dans laquelle on l'exprime. Elle est donc l'« empreinte », la « trace » de l'endomorphisme.
• Le produit scalaire canonique sur ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$ peut s'exprimer à l'aide de la trace.