Système d'équations linéaires/Résolution par combinaison
Introduction
La seconde méthode élémentaire de résolution des systèmes d'équations linéaires est la méthode par combinaisons. Elle consiste à manipuler les différentes lignes du système, en les ajoutant, les multipliant, les soustrayant, pour éliminer des termes et résoudre le système.
Exemple
Résolution détaillée
Le prix d'une baguette et le prix d'un croissant sont solutions du système linéaire
Au bout de 2 jours, Pierre aura acheté 6 baguettes, 10 croissants, et aura payé Modèle:Unité.
Au bout de 3 jours, Paul aura acheté 6 baguettes, 30 croissants, et aura payé Modèle:Unité.
Ce qui permet d'écrire le système
Il s'agit donc du système dans lequel on a multiplié la première ligne par 2 et la deuxième par 3.
Les deux amis ont donc acheté le même nombre de baguettes.
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul. On a :
On remarque que les s'éliminent :
Et on obtient :
Ouf, le croissant coûte toujours Modèle:Unité.
Maintenant au bout de 2 jours, Pierre aura acheté 6 baguettes, 10 croissants, et aura payé Modèle:Unité.
Il a donc acheté autant de croissants que son ami en un seul jour.
Ce qui permet d'écrire le système
Il s'agit donc du système dans lequel on a multiplié la première ligne par 2 et laissé inchangée la deuxième.
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul, on a :
On remarque que les s'éliminent :
Et on obtient :
Ouf, la baguette coûte toujours Modèle:Unité.
Résolution concise
Pour cela on numérote les différentes lignes du système d'équations : Puis on effectue l'opération , ce qui signifie qu'on multiplie la première équation par 2, la deuxième par 3 et qu'on soustrait les équations obtenues : Donc
On effectue ensuite l'opération : Donc
La solution du système est .
Cette méthode est plus compliquée à bien maîtriser, mais elle permet des calculs bien souvent plus rapides, et évite l'emploi de nombreuses fractions
Application de la méthode à des systèmes plus complexes
Ce qui suit généralise la méthode précédente, mais dépasse le niveau 9.
Il est plus simple d'introduire cette méthode par un exemple :
La méthode se résume ainsi :
Remarques
Si on aboutit à une tautologie comme 0 = 0, 3 = 3, c’est que le système n'admet pas une unique solution, ou bien qu'on a fait une erreur...
Si on aboutit à une contradiction comme 1 = 0, 3 = -3, c’est que le système n'admet pas de solution, ou bien qu'on a fait une erreur...
En général, cette méthode est moins trompeuse que la méthode par substitution. Elle est à la base de la méthode du pivot de Gauss, décrite dans une prochaine leçon. Néanmoins, une combinaison de la méthode par substitution et de la méthode par combinaison est souvent plus rapide qu'une seule des deux méthodes prise seule.