Puissances/Annexe/Approfondissements

Vous trouverez sur cette page quelques approfondissements sur la leçon puissances.

Ils ne sont pas strictement au programme de quatrième et sont réservés à ceux qui veulent aller plus loin, soit par curiosité, soit dans le but de se préparer à des études plus difficiles.

Certaines parties de cette page sont seulement suggérées, pour laisser au lecteur le plaisir de trouver les réponses par lui-même.

Démonstrations

Règle 1

Nous voulons montrer que :

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

Supposons que m et n sont positifs, alors :

$\begin{array}{c}\\ a^n=\end{array}\begin{array}{c}nfois\\ \overbrace{a\times \cdots \times a}\end{array}$

et

$\begin{array}{c}\\ a^m=\end{array}\begin{array}{c}mfois\\ \overbrace{a\times \cdots \times a}\end{array}$

donc

$\begin{array}{c}\\ a^n\times a^m=\end{array}\begin{array}{c}nfois\\ \overbrace{a\times \cdots \times a}\end{array}\begin{array}{c}\\ \times \end{array}\begin{array}{c}mfois\\ \overbrace{a\times \cdots \times a}\end{array}\begin{array}{c}\\ =\end{array}\begin{array}{c}n+mfois\\ \overbrace{a\times \cdots \times a}\end{array}\begin{array}{c}\\ =\end{array}\begin{array}{c}\\ a^{n+m}\end{array}$

Règle 2

Il suffit d'écrire la définition et de réordonner les facteurs

Puissances et divisions

Règle 3

En supposant que m est supérieur à n, il faut simplifier m-n fois par a. Sinon, il faut simplifier n-m fois par a.

Règle 4

Il faut se rappeler de la règle de multiplication des fractions.

« Fausses règles »

La plus célèbre est :

${𝔞}^{𝔪}\mathfrak{\times }{𝔟}^{𝔫}\mathfrak{=}\mathfrak{(}𝔞\mathfrak{\times }𝔟{\mathfrak{)}}^{𝔪\mathfrak{+}𝔫}$

Pour se rendre compte qu'elle est fausse, prendre un exemple avec $a\ne b$

Pourquoi $a^0=1$ ?

Calculons

$a^n\times a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0$

Mais

$a^n\times a^{-n}=a^n\times \frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=1$

donc

$a^n\times a^{-n}=1$

Remarque : Cette démonstration n'est valable que si a est non nul. L'égalité 0⁰ = 1 est reliée à la limite en (0;0) de la fonction

$(x;y)⟼x^y$