Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2

Exercice 1

Soient $u$ et $v$ les deux suites définies par :

$u_0=1,u_1=5,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+2}=34u_{n+1}-u_n$ ;

$v_0=0,v_1=2,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_{n+2}=6v_{n+1}-v_n$.

On note $\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)$ l'ensemble des réels de la forme $z=x+y\sqrt{2}$ avec $x,y\in \mathbb{Q}$, et pour un tel nombre $z$, on note $\bar{z}=x-y\sqrt{2}$.

1. Vérifier que

   $\mathrm{\forall }z,z^{\prime }\in \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)\bar{z}\overline{z^{\prime }}=\overline{z{z}^{\prime }}$.

2. Montrer qu'il existe trois nombres $a,b,r\in \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)$ tels que

   $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n=a{r}^{2n}+\overline{a{r}^{2n}}\text{et}{v}_n=b{r}^n+\overline{b{r}^n}$.

3. Calculer $a$ et $b$.
4. Vérifier que

   $a^2-a+b^2=0\text{et}a\bar{a}+b\bar{b}=0$.

5. En déduire que

   $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n^2+v_{2n}^2=u_{2n}$.

Suite de Fibonacci

Modèle:Wikipédia La suite de Fibonacci est une célèbre suite de nombres entiers, liés par la récurrence : $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ avec pour premiers termes $F_1=F_2=1$.

1. Calculer les 10 premiers termes de cette suite.
2. Proposer un algorithme qui calcule le n-ième terme de la suite. Évaluer son temps d'exécution.
3. Calculer les racines du polynôme caractéristique associé : la plus grande est appelée nombre d'or et notée $\phi$. L'autre est notée ${\phi }^{\prime }$.
4. Donner l’expression de $F_n$ en fonction de n et des deux racines (cette formule est appelée formule de Binet).
5. Quelle est la limite du rapport $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ ? Ce résultat est dû à Kepler.

Identités remarquables

Référence : Modèle:Lien web (A.10).

Soient $a$ et $b$ deux éléments d'un corps commutatif K, avec $b\ne 0$.

Montrer que si une suite $u$ (à valeurs dans K) vérifie

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n(R)$

alors, elle peut être étendue aux indices négatifs et reliée aux puissances d'une certaine matrice inversible $P$ par :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\left(\begin{array}{c}{u}_{n+1}\\ u_n\end{array}\right)=P^n\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_0\end{array}\right).$

et que pour $v$ égale à $u$ ou à toute autre suite vérifiant la même relation de récurrence $(R)$ et pour tous entiers $i,j,k,l$ et $r$ :

$i+j=k+l\Rightarrow u_{i+r}{v}_{j+r}-u_{k+r}{v}_{l+r}=(-b{)}^r(u_i{v}_j-u_k{v}_l)$.

Remarques

En particulier, si $u_0=0$ alors

• $\mathrm{\forall }m,n,r\in \mathbb{Z}{u}_n{v}_{m+r}-u_r{v}_{m+n}=(-b{)}^r{u}_{n-r}{v}_m$ ;
• en particulier, $\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{Z}{u}_1{v}_{m+n}=u_n{v}_{m+1}+b{u}_{n-1}{v}_m$.

Ceci s'applique par exemple à la suite de Fibonacci $(F_n)$ Modèle:Supra, qui vérifie donc :

• $\mathrm{\forall }m,n,r\in \mathbb{Z}{F}_n{F}_{m+r}-F_r{F}_{m+n}=(-1{)}^r{F}_{n-r}{F}_m$ ;
• en particulier, $\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{Z}{F}_{m+n}=F_n{F}_{m+1}+F_{n-1}{F}_m$.

Points communs

Quelles sont les valeurs communes aux deux suites $v$ et $w$ définies par :

• $v_0=1,v_1=1\text{et}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{v}_{n+2}=v_{n+1}+2v_n$ ;
• $w_0=1,w_1=7\text{et}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{w}_{n+2}=2w_{n+1}+3w_n$ ?