Phénomènes d'induction/Induction mutuelle, induction propre

Induction propre

Γ crée un champ magnétique $\overrightarrow{B}$. Le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers Σ vaut $\mathrm{\Phi }=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\overrightarrow{B}(M)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}$

Induction mutuelle

• ${\mathrm{\Gamma }}_1$ crée un champ magnétique ${\overrightarrow{B}}_1$, dont certaines lignes de champ vont traverser Σ₂. Le flux de ${\overrightarrow{B}}_1$ à travers Σ₂ vaut alors :

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_{1\to 2}& =\underset{{\mathrm{\Sigma }}_2}{\int }{\overrightarrow{B}}_1(M_2)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}\\ & =\underset{{\mathrm{\Sigma }}_2}{\int }\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}({\overrightarrow{A}}_1)(M_2)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}\\ & ={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}{\overrightarrow{A}}_1(M_2)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}\\ & ={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\left({\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{i_1\overrightarrow{\mathrm{d}{l}_1}}{P_1{M}_2}\right)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}\\ & =i_1{\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\left({\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{\mathrm{d}{l}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}}{P_1{M}_2}\right)\end{array}$

En posant $M_{1\to 2}={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\left({\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{\mathrm{d}{l}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}}{P_1{M}_2}\right)$, coefficient qui ne dépend que de la géométrie du système, on obtient ${\mathrm{\Phi }}_{1\to 2}=i_1{M}_{1\to 2}$

• On calcule de même ${\mathrm{\Phi }}_{2\to 1}=\underset{{\mathrm{\Sigma }}_1}{\int }{\overrightarrow{B}}_2(M_1)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}$. On obtient par un calcul analogue ${\mathrm{\Phi }}_{2\to 1}=i_2{M}_{2\to 1}$.
• On remarque au cours du calcul que $M_{1\to 2}=M_{2\to 1}$

Modèle:CfExo

Matrice d'induction

• Le flux du champ magnétique total à travers Σ₁ vaut Φ₁
• Le flux du champ magnétique total à travers Σ₂ vaut Φ₂

On a: $\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1=L_1{i}_1+M{i}_2\\ {\mathrm{\Phi }}_2=L_2{i}_2+M{i}_1\end{array}$

On peut écrire ces relations sous forme matricielle : $\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_1& M\\ M& L_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right)$

Modèle:Définition

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