Cinématique (Expert)/Exercices/Matrice de passage, vecteur déplacement

Matrice de passage : angles d'Euler

Soit un repère ${\Re }_3(O,{\overrightarrow{x}}_3,{\overrightarrow{y}}_3,{\overrightarrow{z}}_3)$ à positionner par rapport à un repère ${\Re }_0(O,{\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{y}}_0,{\overrightarrow{z}}_0)$.

Nous définissions le vecteur nodal $\overrightarrow{n}$ perpendiculaire au plan défini par les vecteurs ${\overrightarrow{z}}_0$ et ${\overrightarrow{z}}_3$, d'où $\overrightarrow{n}=\frac{{\overrightarrow{z}}_0\wedge {\overrightarrow{z}}_3}{\Vert {\overrightarrow{z}}_0\wedge {\overrightarrow{z}}_3\Vert }$

Une première rotation d'angle $\psi$ (psi) mesuré positivement autour de ${\overrightarrow{z}}_0$, nommé précession, permet de passer du repère ${\Re }_0(O,{\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{y}}_0,{\overrightarrow{z}}_0)$ au repère ${\Re }_1(O,\overrightarrow{n},\overrightarrow{v},{\overrightarrow{z}}_0)$.

Une rotation d'angle $\theta$ (theta) mesuré positivement autour de $\overrightarrow{n}$, appelée nutation, permet de passer du repère ${\Re }_1(O,\overrightarrow{n},\overrightarrow{v},{\overrightarrow{z}}_0)$ au repère ${\Re }_2(O,\overrightarrow{n},\overrightarrow{w},{\overrightarrow{z}}_3)$.

Enfin, une rotation d'angle $\phi$ (phi) mesuré positivement autour de ${\overrightarrow{z}}_3$, la rotation propre, permet d'atteindre le repère ${\Re }_3(O,{\overrightarrow{x}}_3,{\overrightarrow{y}}_3,{\overrightarrow{z}}_3)$

Activité 1

Déterminer les matrices de passage de chaque rotation élémentaire.

Activité 2

Déterminer la matrice de passage (générale). Modèle:Solution

Activité 3

En utilisant les résultats obtenus au cours de l'activité 2, déterminer la matrice de inverse. ${\mathbb{P}}_{(3\to 0)}$ est-elle une matice rotation ? Modèle:Solution

Déplacement d'un point d'un solide

On associe au solide 0 un repère. Le solide 0 est considéré comme solide de référence.

Un solide 3 muni d'un repère ${\Re }_3(O,{\overrightarrow{x}}_3,{\overrightarrow{y}}_3,{\overrightarrow{z}}_3)$ se déplace dans l'espace par rapport au solide de référence.

À l'instant initial de l'étude $t_0$, les deux repères ${\Re }_0$ et ${\Re }_3$ sont coïncidents.

On considère un point A appartenant au solide 3 tel que : $\overrightarrow{O_{3}A}=-2{\overrightarrow{i}}_3+7{\overrightarrow{j}}_3+10{\overrightarrow{k}}_3$

Activité 4

Le solide se déplace d'une translation tel qu’à l'instant $t_1$ : $\overrightarrow{O{O}_3}=10{\overrightarrow{i}}_0+5{\overrightarrow{j}}_0-2{\overrightarrow{k}}_0$

Il subit une rotation propre autour de l’axe ${\overrightarrow{z}}_0$ caractérisée par $\phi$. À l'instant $t_1\phi =30^{\circ }$.

Déterminer le vecteur déplacement $\overrightarrow{D(A)}$. Modèle:Solution

Activité 5

Nous observons un déplacement tel que qu’à l'instant $t_1$ : $\overrightarrow{O{O}_3}=2{\overrightarrow{i}}_0-1{\overrightarrow{j}}_0+3{\overrightarrow{k}}_0$

Il subit trois rotations telles qu’à l'instant $t_1$ : $\phi =45^{\circ }\theta =60^{\circ }\psi =30^{\circ }$

Déterminer le vecteur déplacement $\overrightarrow{D(A)}$. Modèle:Solution