Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe

Introduction

Dans certains cas, on est amené à considérer des champs sous la forme de solutions harmoniques, qui sont commodes en notation complexe. En effet, toute fonction « suffisamment régulière » peut être décomposée en somme de telles solutions, d’après le théorème de Fourier. Les outils d'analyse vectorielle s'adaptent à cette description.

Pour l'exemple, nous traiterons ici le cas très général du champ électrique $\overrightarrow{E}$.

Notations et rappels

Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :

$\overrightarrow{E}=\left(\begin{array}{c}{E}_{0,x}\cos (\omega t-k_{x}x+{\varphi }_x)\\ E_{0,y}\cos (\omega t-k_{y}y+{\varphi }_y)\\ E_{0,z}\cos (\omega t-k_{z}z+{\varphi }_z)\end{array}\right)$

Avec E_i des amplitudes de champs, ω la pulsation de l'onde, $\overrightarrow{k}=(k_x,k_y,k_z)$ le vecteur d'onde (dont la norme est le nombre d'onde k) et Φ_i des éventuels déphasages. On rappelle que k est défini par k² = ω²/c².

On introduit la notation complexe :

$ℰ=\left(\begin{array}{c}{E}_{0,x}{e}^{i(\omega t-k_{x}x+{\varphi }_x)}\\ E_{0,y}{e}^{i(\omega t-k_{y}y+{\varphi }_y)}\\ E_{0,z}{e}^{i(\omega t-k_{z}z+{\varphi }_z)}\end{array}\right)$

De sorte que le champ électrique véritable est la partie réelle de ce « vecteur complexe » :

$\overrightarrow{E}=\mathrm{\Re }(ℰ)$

On peut réécrire :

$ℰ=\left(\begin{array}{c}{E}_{0,x}{e}^{i{\varphi }_x}\\ E_{0,y}{e}^{i{\varphi }_y}\\ E_{0,z}{e}^{i{\varphi }_z}\end{array}\right)e^{i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})}={ℰ}_0{e}^{i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})}$

Il est important à ce stade de noter que la quantité ${ℰ}_0$ n’est pas élémentaire : il s'agit d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.

Par ailleurs, la dérivation temporelle se fait en multipliant le vecteur par la quantité $i\omega$.

Outils d'analyse vectorielle

On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :

$\mathrm{\nabla }=-i\overrightarrow{k}$

On retrouve ainsi les expressions des opérateurs vectoriels :

• Divergence : $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{A}=-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{A}$
• Rotationnel : $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{A}=-i\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{A}$
• Laplacien : $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}=-||k|{|}^2\overrightarrow{A}$

Exemples

Exemple simple (relation de structure)

Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction x dans le vide, alors d’après l'équation de Maxwell-Gauss :

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{E}=0$.

Avec ce qui précède, la divergence du champ électrique est la partie réelle de :

$\begin{array}{cc}-ik{\overrightarrow{e}}_x\cdot {ℰ}_0{e}^{i(\omega t-k\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{e}}_x)}& =-ik{e}^{i(\omega t-kx)}({\overrightarrow{e}}_x\cdot {ℰ}_0)\end{array}$.

Ainsi, on a :

$\mathrm{\Re }({\overrightarrow{e}}_x\cdot ℰ)={\overrightarrow{e}}_x\cdot \overrightarrow{E}=0$.

C'est-à-dire qu’à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).

Exemple moins simple (nombre d'onde)

Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$.

Réécrivons cela à la lumière des outils développés dans ce chapitre :

$\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\mathrm{\Re }(-{\omega }^2ℰ)$ ;

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}=\mathrm{\Re }(-k^2ℰ)$.

On a ainsi :

$\begin{array}{ccc}-k^2ℰ+\frac{1}{c^2}{\omega }^2ℰ& =& 0\\ -k^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}& =& 0\\ k^2& =& \frac{{\omega }^2}{c^2}\end{array}$.

On retrouve la définition de $k=\Vert \overrightarrow{k}\Vert$, ce qui est rassurant.