Analyse vectorielle/D'Alembertien
Introduction
La généralisation de l'opérateur laplacien à quatre dimensions, sur un espace de Minkowski, amène naturellement à la formulation de l'opérateur d'Alembertien :
De même que pour le laplacien, on peut définir l'opérateur d'Alembertien vectoriel qui applique le d'Alembertien à chaque coordonnée d'un champ vectoriel.
Utilisations
L'opérateur d'Alembertien apparaît naturellement en théorie de la relativité, mais on peut remarquer qu'en électromagnétisme classique, les champs électrique et magnétique vérifient dans le vide :
- ;
- .
La valeur de c dans le d'Alembertien est traditionnellement prise égale à la vitesse de la lumière dans le vide — mais il est tout à fait possible de la définir autrement selon le contexte. Par exemple, pour l'équation d'onde de d'Alembert, le déplacement transversal d'une corde y vérifie : avec, en notant T la tension et µ la masse linéique : .
Remarquons que les cas de champs scalaires ou vectoriels dont le d'Alembertien est nul admettent des solutions analytiques, sous la forme d'ondes se propageant à vitesse c.
Remarques
Le d'Alembertien est en fait une généralisation du laplacien aux espaces de Minkowski, ce qui explique son lien à la mécanique relativiste.