Analyse vectorielle/Laplacien

Introduction

Nous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes. Modèle:Définition Il est linéaire puisque l'opérateur divergence et l'opérateur gradient le sont.

Expression explicite

L'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 : Modèle:Définition Modèle:Démonstration déroulante

Extension aux champs vectoriels

Le laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels : Modèle:Définition C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.

Exemples d’utilisation en physique

En électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :

$\mathrm{\Delta }V=0$.

De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :

$\mathrm{\Delta }\varphi =0$.

Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$