Analyse vectorielle/Gradient

Introduction

Le gradient de deux champs, dont la valeur est d'autant plus grande que l'image est sombre.

Le premier outil vectoriel, car le plus simple, est l'opérateur gradient. Pour l'introduire, imaginons que le champ est un champ scalaire réel, et qu’il représente la hauteur d'un terrain en chaque point. On veut savoir dans quelle direction aller pour monter : l'opérateur gradient donne cette information.

Dans notre exemple, il s'agit d'un champ scalaire de dimension deux. Considérons indépendamment chaque direction. On peut dériver notre champ par rapport à x : si le champ est localement décroissant, on aura un nombre négatif — s'il est croissant, on aura un nombre positif. Ainsi, un vecteur d'abscisse ce nombre ira dans la direction vers laquelle le champ croît. Il en est de même selon y. Ainsi le vecteur :

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial M}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial M}{\partial y}\end{array}\right)$

indique la direction vers laquelle le champ M est croissant. Ce vecteur est appelé vecteur gradient, et généralise la notion de dérivée.

Définition

La définition qui suit n'est ni la plus fondamentale, ni la plus générale. Elle n'est valable qu'en coordonnées cartésiennes. Modèle:CfExo Modèle:Définition

Propriétés

On distingue les propriétés du vecteur gradient, valeur du gradient d'un champ en un point :

L'opérateur gradient possède lui-même certaines propriétés intéressantes :

Une relation parfois utile est :

Le gradient d'un champ scalaire possède une extension pour les champs vectoriels : l'opérateur jacobien, que nous ne décrirons pas ici.

Exemples

On dit d'une force qu'elle est conservative s'il existe une énergie potentielle ${ℰ}_p$ telle que : $\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{ℰ}_p$ (parce que le travail est nul sur une courbe fermée)

Si on note V le potentiel électrique, alors, en électrostatique : $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}V$

Modèle:Bas de page