Électrostatique des conducteurs/Système de deux conducteurs en équilibre électrostatique

Théorème des éléments correspondants

Théorème des éléments correspondants

Soient deux conducteurs de l'espace S₁ et S₂ en équilibre électrostatique.

On considère un tube de champ de surface latérale Σ_l reliant un élément de surface s₁ de S₁ à un élément de surface s₂ de S₂. s₁ et s₂ portent respectivement les charges q₁ et q₂.

On imagine alors une surface Σ₁ s'appuyant sur le contour de s₁, mais incluse dans le conducteur S₁. De même, on pose Σ₂ une surface s'appuyant sur le contour de s₂ tout en étant incluse dans le conducteur S₂.

On note $\mathrm{\Sigma }={\mathrm{\Sigma }}_l\cup {\mathrm{\Sigma }}_1\cup {\mathrm{\Sigma }}_2$. Σ est une surface fermée : on peut donc lui appliquer le théorème de Gauss : $\frac{q_1+q_2}{{ϵ}_0}=\underset{{\mathrm{\Sigma }}_1}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}+\underset{{\mathrm{\Sigma }}_2}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}+\underset{{\mathrm{\Sigma }}_l}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}$

• À l'intérieur d'un conducteur en équilibre électrostatique, $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$, donc $\underset{{\mathrm{\Sigma }}_1}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}=0$ et $\underset{{\mathrm{\Sigma }}_2}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}=0$.
• À la surface d'un tube de champ, le champ est tangentiel à la normale au tube de champ, donc $\underset{{\mathrm{\Sigma }}_l}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}=0$

Modèle:Théorème

Matrice de capacité

Soient deux conducteurs de l'espace S₁ et S₂ en équilibre électrostatique, de surfaces respectives Σ₁ et Σ₂.

$Q_1=\underset{{\mathrm{\Sigma }}_1}{\iint }\sigma (P){\mathrm{d}}^{2}S$

$Q_2=\underset{{\mathrm{\Sigma }}_2}{\iint }\sigma (P){\mathrm{d}}^{2}S$

$V(M)=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\sigma (P){\mathrm{d}}^{2}S}{PM}$

$V(M_1)=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\sigma (P){\mathrm{d}}^{2}S}{P{M}_1}$

$V(M_2)=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\sigma (P){\mathrm{d}}^{2}S}{P{M}_2}$

Si $V(M_1)=0$ et $V(M_2)=0$, $\mathrm{\forall }M,V(M)=0$ d'où $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{E}(P)=\overrightarrow{0}=\frac{\sigma (P)}{{ϵ}_0}$$\sigma (P)=0$

$\left(\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{C}_{1,1}& C_{1,2}\\ C_{1,2}& C_{2,2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\end{array}\right)$

• C_i,i > 0 : Coefficients de capacité
• C_i,j < 0 : Coefficients d'influence
• C symétrique
• C_i,j : ne dépendent que de la géometrie des conducteurs