Machines thermiques/Étude de quelques machines

Les moteurs

Définitions

Modèle:Définition

Exemple : les sources de chaleur sont des thermostats

Un thermostat est un système qui garde toujours la même température, quelle que soit la quantité de chaleur échangée. Ainsi, T₁ et T₂ sont constants. Puisqu'on a   $\delta Q=T.dS$, on en déduit:

$Q_1=-T_1.\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_1}$

$Q_2=-T_2.\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_2}$

On applique les principes de la thermodynamique à M :

• Sur un cycle réversible $\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_1}=-\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_2}$ d'où   $-\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}$ ou encore   $Q_2=-Q_1\frac{T_2}{T_1}$.
• $W+Q_1+Q_2=0$ donc   $W=-Q_1-Q_2=Q_1\frac{T_2}{T_1}-Q_1=Q_1.(\frac{T_2}{T_1}-1)=Q_1.\frac{T_2-T_1}{T_1}$

Modèle:Théorème

Remarque : plus la source chaude est chaude et plus la source froide est froide, meilleur est le rendement.

Exemple: La source chaude est de l'eau

On considère toujours la source froide comme un thermostat, mais la source chaude est maintenant un volume V d'eau à la température initiale T_1,0. Cette fois, la température de la source chaude n’est pas constante et tend vers la température de la source froide, supposée constante.

On a, comme précédemment, $-Q_2=T_2.\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_2}$.

Par contre, c’est faux pour ${\sigma }_1$, car T₁ n’est pas constant. On a en revanche $-\delta Q_1=c_p.d{T}_1=T_1.d{S}_{{\sigma }_1}$

D'où   $d{S}_{{\sigma }_1}=c_p.\frac{d{T}_1}{T_1}$

En intégrant,   $\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_1}=\underset{T_{1,0}}{\overset{T_2}{\int }}{c}_p.\frac{d{T}_1}{T_1}=c_p.\ln \frac{T_2}{T_{1,0}}$

Or, on a   $\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_1}+\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_2}=0$ d'où $c_p.\ln \frac{T_2}{T_{1,0}}-\frac{Q_2}{T_2}=0$ donc $Q_2=T_2.c_p.\ln \frac{T_2}{T_{1,0}}$

Or $-\delta Q_1=c_p.d{T}_1$ donc $-Q_1=c_p.(T_2-T_{1,0})$ donc $c_p=\frac{Q_1}{T_{1,0}-T_2}$. En reportant dans l’expression de Q₂, on trouve: $Q_2=Q_1.\frac{T_2}{T_{1,0}-T_2}.\ln \frac{T_2}{T_{1,0}}$

On trouve enfin:

$W=-Q_1-Q_2=-Q_1(1+\frac{T_2}{T_{1,0}-T_2}.\ln \frac{T_2}{T_{1,0}})$

d'où le rendement :     $\rho =1-\frac{T_2}{T_{1,0}-T_2}.\ln \frac{T_{1,0}}{T_2}$

Réfrigérateur - Pompe à chaleur

Modèle:Définition

Exemple: Chauffage d'une maison à l'aide d'une pompe à chaleur

La source chaude est une maison. On souhaite maintenir la température de la maison constante en hiver. Cependant, l'isolation n'étant pas parfaite, la maison cède une quantité de chaleur Q₁ au milieu extérieur. La pompe à chaleur devra donc fournir Q₁ au cours d'un cycle.

La source froide est un lac proche. On considère qu’il reste à la température du milieu extérieur, T₂ (T₂ > 0).

On a, comme dans le cas du moteur:

$-Q_1=T_1.\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_1}$

$-Q_2=T_2.\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_2}$

$\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_1}+\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_2}=0$

D'où     $Q_2=-Q_1.\frac{T_2}{T_1}$

Or     $W+Q_1+Q_2=0$

d'où

$W=-Q_2-Q_1=Q_1.\frac{T_2-T_1}{T_1}$

D'où l'efficacité     $e=-\frac{Q_1}{W}=\frac{T_1}{T_1-T_2}$

On retrouve la signification de l'efficacité. En effet, on a     ${Q_1}_{pac}=eW$.

Si on avait chauffé la maison en ne faisant que convertir le travail en chaleur (en convertissant par exemple de l'électricité par effet Joule), on aurait eu     ${Q_1}_{joule}=W$ et donc     $e=\frac{{Q_1}_{pac}}{{Q_1}_{joule}}$.

Autre exemple: réfrigérateur

On étudie maintenant un réfrigérateur. La source froide est le réfrigérateur, qu'on souhaite garder à une température constante T₂. La source chaude est le milieu extérieur, à température considérée comme constante T₁. Comme le réfrigérateur n’est pas parfaitement isolé thermiquement, le réfrigérateur reçoit une certaine quantité de chaleur, qu'on doit alors lui reprendre.

Second principe:

$\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_1}+\mathrm{\Delta }{S}_{{\sigma }_2}=0$     d'où     $\frac{Q_1}{T_1}=-\frac{Q_2}{T_2}$

donc:

$Q_1=-Q_2.\frac{T_1}{T_2}$

Premier principe:

$W=-Q_1-Q_2=Q_2.(\frac{T_1}{T_2}-1)=Q_2\frac{T_1-T_2}{T_2}$

D'où l'efficacité     $e=\frac{Q_2}{W}=\frac{T_2}{T_1-T_2}$