Polynôme/Définitions

Modèle:Chapitre

Dans toute la suite, $K$ représentera indistinctement le corps $ℝ$ des réels ou celui $ℂ$ des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).

Unicité

Théorème :

Soit deux fonctions polynomiales $f$ et $g$ telles que $f=g$ et

$f:K\to K$ $g:K\to K$

$X\to a_n{X}^n+...+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$ $X\to b_n{X}^n+...+b_2{X}^2+b_{1}X+b_0$

Alors, $a_n=b_n...a_2=b_2;a_1=b_1;a_0=b_0$

Démonstration

On définit la fonction polynomiale $f-g:K\to K$

$X\to f(X)-g(X)$

Donc, $f(X)-g(X)=(a_n-b_n)X^n+...+(a_2-b_2)X^2+(a_1-b_1)X+(a_0-b_0)=0$ pour tout $X$

Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale $h$ nulle pour toute valeur de $X$ (on dit que $h$ est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.

Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel $\eta$ tel que $\mathrm{\forall }x\in ⊏-\eta ;\eta ⊐$, $h(x)\ne 0$ . En effet, la fonction polynôme est continue.

Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :

Initialisation : Si $n=0$, $h(x)=a_0$et donc $a_0=0$

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour $n-1$. Montrons que c'est aussi le cas pour $n$.

Soit le polynôme $B$ tel que $B(X)={\beta }_n{X}^n+...+{\beta }_2{X}^2+...{\beta }_{1}X+{\beta }_0$ et $B(x)=0$ pour tout $x$.

Donc, $B(0)={\beta }_0=0$.

On peut donc écrire $B$ sous la forme $B(X)={\beta }_n{X}^n+...+{\beta }_3{X}^3+{\beta }_2{X}^2+{\beta }_{1}X$.

On pose maintenant le polynôme $A(X)$ tel que $A(x)\times x=B(x)$. Ainsi, $A(X)={\beta }_n{X}^{(}n-1)+...+{\beta }_3{X}^2+{\beta }_{2}X+{\beta }_1$

D'autre part, pour tout $x\ne 0$, $A(x)=0$. Or, d'après le lemme démontré précédemment, $A(0)=0$. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel $\eta$ tel que $\mathrm{\forall }x\in ⊏-\eta ;\eta ⊐$, $A(x)\ne 0$ ce qui est faux.

Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, ${\beta }_1={\beta }_2=...{\beta }_n=0={\beta }_0$.

Donc, la propriété est démontrée pour le rang $n$.

Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.

Ainsi, $f-g$ est identiquement nulle. Donc, $a_n=b_n...a_2=b_2;a_1=b_1;a_0=b_0$: le théorème est démontré.

Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante

Propriété :

Soit deux fonctions polynomiales $f$ et $g$ telles que $f=g$ et

$f:K\to K$ $g:K\to K$

$X\to a_n{X}^n+...+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$ $X\to b_m{X}^m+...+b_2{X}^2+b_{1}X+b_0$

Avec $n$ et $m$ différents de 0.

On a alors $n=m$ et $a_n=b_m...a_2=b_2;a_1=b_1;a_0=b_0$.

Degré d'un polynôme

Soit $P(X)=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k\in K[X]$.

Modèle:DéfinitionLa propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.

On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré. Modèle:Propriété

On note $K_n[X]$ le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ (par convention, on pose $\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty }<n$ ).

Modèle:Propriété