Équation différentielle linéaire/Équations différentielles linéaires d'ordre un

Introduction

Dans l'étude des équations différentielles ordinaires linéaires (nous préciserons ce terme plus loin), le cas le plus simple est celui d'une relation entre une fonction et sa dérivée. En réalité, il permet de construire la base d'une théorie générale des équations de tous ordres.

Cette première leçon rappelle les définitions et théorèmes importants, qui serviront à la généralisation de l'étude.

Définitions et notations

Bien que très générales, rappelons les notations qui seront utilisées dans cette leçon.

Précisons alors les objets de notre étude dans ce chapitre :

Un cas particulier important concerne le cas où ces fonctions sont constantes :

Résultats généraux

Rappelons les théorèmes fondamentaux qui serviront notre étude :

Un théorème très important d'un point de vue physique :

Équations différentielles à coefficients constants

Théorèmes importants

Le cas des coefficients constants est élémentaire, rappelons rapidement le résultat général :

Exemple : vitesse terminale

Prenons un exemple rapide : un objet en chute, subissant le frottement fluide de l'air. La mécanique newtonienne donne :

$m{v}^{\prime }=-hv+mg$

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

$v^{\prime }+\frac{h}{m}v-g=0$

La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

$v=A{e}^{-\frac{h}{m}t}+\frac{gm}{h}$

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre A, qui doit alors vérifier :

$0=A+\frac{gm}{h}$

La solution finale au problème est donc :

$v\left(t\right)=\frac{gm}{h}(1-e^{-\frac{h}{m}t})$

Remarques

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque $t\to \mathrm{\infty }$. Si a et b sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers $\pm \mathrm{\infty }$.

Cas général

Résolution complète

La fonction a ne s'annulant pas, on peut librement redéfinir b et c pour avoir un coefficient 1 devant la dérivée de f. Considérons par ailleurs l'équation homogène dans un premier temps. On cherche donc à résoudre :

$f^{\prime }+\frac{b(x)}{a(x)}f=0$

Soit $\mathrm{\Phi }$ une primitive de la fonction $\frac{b}{a}$, par exemple :

$\mathrm{\Phi }=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{b(t)}{a(t)}\mathrm{d}t$

où x₀ est un réel que l’on fixe (par exemple 0).

Alors la dérivée de $\varphi :x\mapsto e^{-\mathrm{\Phi }(x)}$ est

${\varphi }^{\prime }(x)=-{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)e^{-\mathrm{\Phi }(x)}=-\frac{b(x)}{a(x)}\varphi (x)$.

On a ainsi l’ensemble des solutions à l'équation homogène :

Pour terminer la résolution, employons la méthode de « variation de la constante », qui consiste à rechercher des solutions particulières de la forme :

$f\left(x\right)=A\left(x\right)\varphi \left(x\right)$.

On a donc, en dérivant :

$f^{\prime }=A^{\prime }\varphi +A{\varphi }^{\prime }$.

Réinjectons cela dans l'équation différentielle :

$f^{\prime }+\frac{b}{a}f=A^{\prime }\varphi +A{\varphi }^{\prime }+\frac{b}{a}A\varphi =A^{\prime }\varphi +({\varphi }^{\prime }+\frac{b}{a}\varphi )A=A^{\prime }\varphi =-\frac{c}{a}$

ce qui donne directement :

$A^{\prime }=-\frac{c}{a\varphi }=-\frac{c}{a}{e}^{+\mathrm{\Phi }}$

Donc :

$A\left(x\right)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}-\frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)}{e}^{+\mathrm{\Phi }\left(s\right)}\mathrm{d}s$

On a ainsi une solution particulière. Finalement, nous avons résolu complètement l'équation différentielle.

Remarques

• On retrouve bien entendu le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
• La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également bien difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche, et cela nous intéressera pour la suite, une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.

Exemple

Cas d'un mobile de masse variable (supposée connue et unité à l'origine), soumis à une force sinusoïdale. Cet exemple n'est probablement d'aucun intérêt pratique, mais il illustre le développement mathématique précédent :

$\dot{p}=F_0\sin ({\omega }_{0}t)$

On a ainsi :

$m(t)v^{\prime }(t)+v(t)m^{\prime }(t)=F_0\sin ({\omega }_{0}t)$

Posons le problème sous la forme canonique :

$v^{\prime }(t)+\frac{m^{\prime }(t)}{m(t)}v(t)-\frac{F_0}{m(t)}\sin ({\omega }_{0}t)=0$

Les solutions sont, d’après la formule générale, de la forme :

$v(t)=[A+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{F_0}{m(s)}\sin ({\omega }_{0}s)e^{+\mathrm{\Phi }\left(s\right)}\mathrm{d}s]\cdot e^{-\mathrm{\Phi }\left(t\right)}$

avec

$\mathrm{\Phi }:t\mapsto \underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{m^{\prime }(s)}{m(s)}\mathrm{d}s=\ln m(t)$.

Donc :

$v(t)=-Am(t)-F_0\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin ({\omega }_{0}s)m(s)\mathrm{d}s$

On note v₀ la vitesse à l'origine des temps, alors, trivialement, A = -v₀. Pour conserver l'homogénéité, indiquons toutefois la masse m₀ = 1. La solution est donc :

$v(t)=\frac{m(t)}{m_0}{v}_0-F_0\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin ({\omega }_{0}s)m(s)\mathrm{d}s$

Sans préciser m davantage, on ne peut pas en dire plus — mais c’est déjà beaucoup. Celle-ci connue, une intégration par parties suffira probablement à déterminer complètement v.