Géométrie affine/Devoir/Triangles et courbe

Modèle:Devoir Exercice

Dans un plan affine $ℰ$, on considère un triangle non aplati $(PQR)$ et $G$ son isobarycentre.

a) Démontrer qu'il existe une unique application affine $f:ℰ\to ℰ$ envoyant le triangle ordonné $(PQR)$ sur le triangle ordonné $(QRP)$ (c'est-à-dire envoyant $P$ sur $Q$, $Q$ sur $R$ et $R$ sur $P$). On fixe désormais $f=$ cette application.

b) Démontrer que $f^3=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

c) Si $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ (avec $\alpha +\beta +\gamma =1$) est le triplet des coordonnées barycentriques d'un point $M$ dans le repère $(P,Q,R)$, quel est celui de $f(M)$ ?

d) En déduire que $G$ est l'unique point fixe de $f$.

e) En déduire que tout triangle dont les sommets sont permutés circulairement par $f$ a pour isobarycentre $G$.

f) (Exemple de construction d'un tel triangle) Soit $𝒟$ une droite de $ℰ$. Démontrer que $f(𝒟)$ est une droite sécante à $𝒟$ (indication : déduire de b) et d) que $\overrightarrow{f}$ n'a aucune valeur propre réelle). On note alors $\{S\}=𝒟\cap f(𝒟)$, $T=f(S)$, $U=f(T)$. Caractériser $T$ comme intersection de deux droites. Caractériser de même $U$. Modèle:Solution

Problème

Soient $ℰ$ un plan affine, $(ABC)$ un triangle non aplati, $D$, $E$ et $F$ les milieux respectifs de $[A,B]$, $[A,C]$ et $[B,C]$, $O$ l'isobarycentre de $(ABC)$, $G_1,G_2,G_3$ les isobarycentres respectifs de $(ADE)$, $(BDF)$ et $(CEF)$, et $I$ le milieu de $[D,E]$. Dans les deuxième et troisième parties, $𝒞$ désignera l'ensemble des points dont les coordonnées barycentriques $(x,y,z)$ dans le repère $(A,D,E)$ vérifient $x^2=yz$ (et bien sûr $x+y+z=1$). Ces deuxième et troisième parties sont indépendantes.

Première partie.

1) Montrer que les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. Donner deux autres relations de parallélisme similaires. En déduire que $I$ est le milieu de $(A,F)$.

2) Montrer que $O$ est l'isobarycentre des triangles $(DEF)$ et $(G_1{G}_2{G}_3)$ (on pourra raisonner directement, ou utiliser l'exercice, question e).

3) Décrire une homothétie $h$ (centre et rapport) envoyant le triangle ordonné $(ADE)$ sur le triangle ordonné $(ABC)$. De même pour les triangles ordonnés $(ADE)$ et $(FED)$, puis pour les triangles ordonnés $(FED)$ et $(G_1{G}_2{G}_3)$. Est-ce encore possible pour les triangles ordonnés $(ADE)$ et $(BDF)$ ?

Deuxième partie.

Soit $a\in ℝ$. On note $K_a=aE+(1-a)A$ et $L_a=aA+(1-a)D$, puis $M_a\in (D{K}_a)\cap (E{L}_a)$.

1) Quel est le point $M_a$ dans chacun des cas particuliers $a=0,1,1/2$ ?

2) Justifier que le point $M_a$ est bien défini (pour tout $a\in ℝ$) (indications au choix : on peut par exemple appliquer l'exercice question f, ou encore prouver l'existence et l'unicité de $M_a$ au cours de la réponse à la question 3 ci-dessous).

3) Calculer (en fonction de $a$) les coordonnées barycentriques $(x_a,y_a,z_a)$ de $M_a$ dans le repère affine $(A,D,E)$.

4) Calculer leurs limites $(x_{\mathrm{\infty }},y_{\mathrm{\infty }},z_{\mathrm{\infty }})$ quand $a\to \pm \mathrm{\infty }$. Quel est le point $M_{\mathrm{\infty }}$ correspondant ?

5) Pour $a\in ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$, vérifier que

a) $M_a\in 𝒞$,

b) si $y_a\ne 1$ alors $a=\frac{z_a}{1-y_a}$.

c) Donner les deux valeurs de $a\in ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ pour lesquelles $y_a=1$.

6) En déduire que l'application $a\mapsto M_a$ est une bijection de $ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ dans $𝒞$.

Troisième partie. (Étude de la courbe $𝒞$)

1) Soient $(1-y-z,y,z)$ les coordonnées barycentriques d'un point $M$ dans le repère $(A,D,E)$ et $(u,v)$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ dans la base $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

a) Exprimer $u,v$ en fonction de $y,z$ (indication : d'après la première partie, $\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{A{G}_1}$).

b) En déduire qu'il existe une constante $K$ (à déterminer) telle que $M\in 𝒞\iff u^2+uv+v^2=K$.

2) On suppose dans cette question que le plan $ℰ$ est muni d'une structure euclidienne pour laquelle le triangle $(ADE)$ est équilatéral, avec $\Vert \overrightarrow{A{G}_1}\Vert =1$. Calculer $\Vert u\overrightarrow{AD}+v\overrightarrow{AE}{\Vert }^2$ en fonction de $u,v$. En déduire l'interprétation géométrique de $𝒞$. $𝒞$ est un objet remarquable pour les triangles $(DEF)$, $(G_1{G}_2{G}_3)$ et $(ABC)$. Le décrire en ces termes.

3) Démontrer qu'il existe une (unique) structure euclidienne sur $ℰ$ (c'est-à-dire un unique produit scalaire sur le plan vectoriel associé) pour laquelle les hypothèses de la question précédente sont vérifiées.

4) On note $\phi$ la structure euclidienne particulière précédente, et $\psi$ une structure euclidienne quelconque. On rappelle qu'il existe une base $(i,j)$ orthonormée pour $\psi$ et des constantes $a,b>0$ telles que $(ai,bj)$ soit orthonormée pour $\phi$. Pour une telle base, donner l'équation de $𝒞$ dans le repère $(O,i,j)$. En déduire l'interprétation géométrique de $𝒞$ dans le plan affine euclidien $(ℰ,\psi )$.