Théorie de la mesure/Devoir/Constructions de mesures

Modèle:Devoir 1°) Restriction d'une mesure extérieure en une mesure sur une sous-tribu.

Soient $𝒯$ une tribu sur un ensemble $X$, et $\mu$ une « Modèle:W » sur $𝒯$, c'est-à-dire une application de $𝒯$ dans $[0,+\mathrm{\infty }]$ telle que :

• i) $\mu (\varnothing )=0$ ;
• ii) $\mu$ est croissante : $\mathrm{\forall }A,B\in 𝒯(A\subset B\Rightarrow \mu (A)\le \mu (B))$ ;
• iii) $\mu$ est dénombrablement sous-additive : $\mathrm{\forall }{A}_n\in 𝒯,\mu \left({\cup }_{n\in \mathbb{N}}{A}_n\right)\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$.

($\mu$ est donc « presque » une mesure sur $𝒯$).

a) Montrer que pour tous $A,B\in 𝒯$, $\mu (A\cup B)\le \mu (A)+\mu (B)$.

On pose $𝒮=\{E\in 𝒯\mid \mathrm{\forall }A\in 𝒯\mu (A)\ge \mu (A\cap E)+\mu (A\cap E^c)\}$.

b) Montrer que les $E\in 𝒯$ tels que $\mu (E)=0$ appartiennent à $𝒮$.

c) Soient $E,F\in 𝒮$. Montrer que pour tout $A\in 𝒯$,

$\mu (A\cap (E\cup F))=\mu (A\cap E\cap F)+\mu (A\cap E^c\cap F)+\mu (A\cap E\cap F^c)$.

d) Montrer que $𝒮$ est une [[../../Tribus#Algèbres|algèbre sur $X$]].

e) Soient $E_k\in 𝒮$, disjoints deux à deux. On pose $F_n=\underset{k=0}{\overset{n}{\cup }}{E}_k$ et $F=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{E}_k$.

Pour tout $A\in 𝒯$, montrer que $\mu (A\cap F_n)=\sum _{k=0}^n\mu (A\cap E_k)$ ($\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$), et en déduire que $\mu (A)\ge \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (A\cap E_k)+\mu (A\cap F^c)$.

f) En déduire que $F\in 𝒮$ et que pour tout $B\in 𝒯$, $\mu (B\cap F)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\mu (B\cap E_k)$.

g) En déduire que $𝒮$ est une sous-tribu de $𝒯$ et que la restriction de $\mu$ à $𝒮$ est une mesure ($\sigma$-additive). Modèle:Solution

2°) Un $v$ sur les compacts donne un $\lambda$ sur les ouverts.

Soient $X$ un Modèle:W (c'est-à-dire un espace topologique dans lequel tout point admet un voisinage compact), et $K(X)$ l'ensemble de ses compacts. (C'est une généralisation du cas $X={ℝ}^n$ où $K(X)$ est l'ensemble des fermés bornés de ${ℝ}^n$). Les propriétés utiles seront, si $K$ est un compact de $X$ :

• i) pour tout compact $K^{\prime }$, $K\cup K^{\prime }$ est compact ;
• ii) pour tout ouvert $U$, $K\setminus U$ est compact et $U\setminus K$ est ouvert ;
• iii) de tout recouvrement ouvert de $K$ on peut extraire un sous-recouvrement fini : si $K\subset {\cup }_{i\in I}{U}_i$ avec $U_i$ ouverts, il existe $J$ fini $\subset I$ tel que $K\subset {\cup }_{i\in J}{U}_i$ ;
• iv) il existe un ouvert $U$ de $X$, contenant $K$, et inclus dans un compact.

Soit $v:K(X)\to {ℝ}^{+}$, croissante, et telle que

$\mathrm{\forall }K,K^{\prime }\in K(X)v(K\cup K^{\prime })\le v(K)+v(K^{\prime })$, et même,

si $K\cap K^{\prime }=\varnothing$ alors $v(K\cup K^{\prime })=v(K)+v(K^{\prime })$ (en particulier, $v(\varnothing )=0$).

Pour tout ouvert $U$ de $X$ on pose : $\lambda (U)=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{v(K)\mid K\text{ compact }\subset U\}$.

Montrer que :

a) $\lambda (\varnothing )=0$ et $\lambda$ est croissante, à valeurs dans $[0,+\mathrm{\infty }]$ ;

b) si $U$ est inclus dans un compact, $\lambda (U)$ est fini ;

c) $\lambda (U\cup V)\le \lambda (U)+\lambda (V)$ ($\mathrm{\forall }U,V$ ouverts) (indication : pour tout compact $K\subset U\cup V$ on posera $K^{\prime }=K\setminus V$ et $K^{″}=K\setminus U$) ;

d) $\lambda ({\cup }_{n\in \mathbb{N}}{U}_n)\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\lambda (U_n)$ (pour toute suite d'ouverts $U_n$) ;

e)  pour tout compact $K$ inclus dans $U$, $\lambda (U)\ge v(K)+\lambda (U\setminus K)$. Modèle:Solution

3°) Ce $\lambda$ sur les ouverts se prolonge en une mesure extérieure, qui donne une mesure sur les boréliens

À partir du $\lambda$ de la question 2 on pose, pour toute partie $A$ de $X$ :

$\mu (A)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{\lambda (U)\mid U\text{ ouvert }\supset A\}$.

Montrer que :

a) pour tout ouvert $U$, $\mu (U)=\lambda (U)$ ;

b) sur la tribu $𝒯=𝒫(X)$, $\mu$ est une mesure extérieure (c'est-à-dire vérifie les hypothèses de la question 1) ;

c) pour tout compact $K$, $v(K)\le \mu (K)<+\mathrm{\infty }$ ;

d) pour qu'une partie $E$ de $X$ appartienne à la sous-tribu $𝒮$ (définie dans la question 1), il suffit que pour tout ouvert $U$, $\mu (U)\ge \mu (U\cap E)+\mu (U\cap E^c)$ ;

e) si $E$ est ouvert alors $E\in 𝒮$ ;

f) $𝒮$ contient la tribu des boréliens sur $X$. Modèle:Solution

4°) Régularité de cette mesure.

Par construction (et d'après 3.a), toute partie $A$ de $X$ est « extérieurement régulière », c'est-à-dire vérifie :

$\mu (A)=\inf \{\mu (U)\mid U\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\supset A\}$.

On dira que $A$ est de plus « intérieurement régulier » si

$\mu (A)=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{\mu (K)\mid K\text{ compact }\subset A\}$.

Montrer que :

a) tout ouvert est intérieurement régulier ;

b) si $E\in 𝒮$ et $E$ est inclus dans un compact $K$, alors $E$ est intérieurement régulier (utiliser que $K\setminus E$ est extérieurement régulier) ;

c) plus généralement, si $E\in 𝒮$ et $\mu (E)<+\mathrm{\infty }$, alors $E$ est intérieurement régulier (utiliser (a) et (b)). Modèle:Solution

ÉPILOGUE

Dans ce problème, à partir d'un $v:K(X)\to {ℝ}^{+}$ (vérifiant les hypothèses de la question 2), on a construit un $\lambda :\{\text{ouverts de }X\}\to [0,+\mathrm{\infty }]$ qu'on a étendu en une mesure $\mu$ sur les boréliens de $X$ (vérifiant des propriétés supplémentaires). Cette construction classique ($v$ donne $\mu$) permet, pour de bons choix de $v$, de démontrer (pour $X$ localement compact) :

• sur l'espace des fonctions continues de $X$ dans $ℝ$ nulles hors d'un compact, toute forme linéaire positive $L$ est de la forme $f\mapsto L(f)=\underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu$ pour une certaine mesure $\mu$ (qui dépend bien sûr de $L$).
  C'est le Modèle:W.
  Pour cela, on choisit $v$ convenablement en fonction de $L$.
• si $X$ est muni d'une structure de groupe (non nécessairement commutatif) compatible avec sa topologie, il existe sur $X$ une Modèle:W à gauche (c'est-à-dire non nulle et invariante par les translations à gauche).
  Pour cela, on construit un $v$ non nul invariant par ces translations.

Sur $X=ℝ$ (ou même ${ℝ}^n$), la Modèle:W est un cas particulier commun à ces deux applications. (Dans le premier cas, pour $L=$ l'intégrale de Riemann, dans le second cas, pour la structure de groupe additif usuelle).