Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe de Frattini

Problème 1

Soit G un groupe simple fini. Prouver que Frat(G) est trivial. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 2

Soient G un groupe fini et $p$ un diviseur premier de $|G|.$ Prouver que $p$ figure dans la décomposition de $|Frat(G)|$ en facteurs premiers à une puissance strictement plus petite que dans la décomposition de $|G|.$ (Autrement dit, si la décomposition de $|G|$ en facteurs premiers est $p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}$, $|Frat(G)|$ divise $p_1^{e_1-1}\cdots p_n^{e_n-1}.$)
Indication : d'après les théorèmes de Sylow, il revient au même de prouver que si P est un p-sous-groupe de Sylow de G, alors P n'est pas contenu dans Frat(G); dans le cas contraire, déduire de la nilpotence de Frat(G) que P est un sous-groupe normal de G; appliquer le [[../../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall|théorème de Schur-Zassenhaus]] puis le fait que P est contenu dans Frat(G). Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 3

Soit $n$ un nombre naturel; prouver que Frat($S_n$) et Frat($A_n$) sont triviaux.
Indication : on peut utiliser le fait que Frat($S_n$) est un sous-groupe normal nilpotent de $S_n$; on a déterminé les sous-groupes normaux de $S_n$ dans [[../Groupes alternés|les exercices sur le chapitre Groupes alternés]]. Modèle:Clr Modèle:Solution