Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact

Modèle:Devoir Modèle:WikipédiaModèle:Wikipédia Dans ce problème, $H$ est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie sur $ℝ$. On rappelle que :

• les valeurs propres d'un opérateur autoadjoint sont réelles ;
• $\Vert T\Vert =\underset{\Vert u\Vert =\Vert v\Vert =1}{\sup }|⟨Tu,v⟩|$ :
• si $T$ est auto-adjoint on a aussi $\Vert T\Vert =\underset{\Vert u\Vert =1}{\sup }|⟨Tu,u⟩|$.

Partie I. Soit $T$ un opérateur autoadjoint compact sur $H$.

1) a) Montrer que si un sous-espace de $H$ est stable par $T$ alors son orthogonal l'est aussi.

b) Montrer que deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

2) a) Soit $(u_n)$ une suite orthonormée. Montrer qu'on ne peut en extraire aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.

b) Désormais, $(u_n)$ est une suite orthonormée de vecteurs propres associés à des valeurs propres non nulles (non nécessairement distinctes) ${\lambda }_n$. Déduire de la question précédente que ${\lambda }_n\to 0$ (on raisonnera par l'absurde, en remarquant que $u_n=T{v}_n$ avec $v_n=\frac{1}{{\lambda }_n}{u}_n$).

c) En déduire que tous les sous-espaces propres de $T$ sont de dimension finie à l'exception de $\ker T$.

3) Montrer que $\Vert T\Vert$ ou $-\Vert T\Vert$ est une valeur propre. (On pensera à la caractérisation de $\Vert T\Vert$ rappelée au début.)

4) a) En déduire que les valeurs propres non nulles forment une suite telle que $|{\lambda }_0|\ge |{\lambda }_1|\ge \dots \ge |{\lambda }_n|\ge \dots$, que les espaces propres associés $F_k$ sont deux à deux orthogonaux, et que ${\left({\oplus }_k{F}_k\right)}^{\mathrm{\perp }}=\ker T$.

b) Montrer que $T$ est la limite (au sens de la norme des opérateurs) des $T_n:=T{\mathrm{\Pi }}_n$ où ${\mathrm{\Pi }}_n$ désigne la projection orthogonale sur ${\oplus }_{0\le k\le n}{F}_k$.

Partie II. Dans cette partie, $H={\mathrm{L}}^2([0,1],\mathrm{d}x)$. Pour $t,x\in [0,1]$, on pose :

$K(t,x)=\min (t,x)(1-\max (t,x))$, puis $Tf(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}K(t,x)f(t)\mathrm{d}t$.

1) Montrer que $T$ est un opérateur autoadjoint compact sur $H$ et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur $[0,1]$.

2) a) Soit $f$ un vecteur propre associé à une valeur propre $\lambda \ne 0$. Montrer que $\lambda f^{″}=-f$ et $f(0)=f(1)=0$.

b) En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de $T$ sont données par ${\lambda }_n=\frac{1}{(n\pi {)}^2}$ et qu'une suite orthonormée $(e_n)$ de vecteurs propres associés est donnée par $e_n(x)=\sqrt{2}\sin (n\pi x)$. Le réel $0$ est-il valeur propre ? En déduire que les $(e_n)$ forment une base hilbertienne de $H$.

c) Que vaut $\Vert T\Vert$ ?

3) Montrer que $K(t,x)=\frac{2}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (n\pi x)\sin (n\pi t)}{n^2}$, au sens ${\mathrm{L}}^2$ (on pourra remarquer ou admettre que les $h_{n,k}(t,x):=e_n(t)e_k(x)$ pour $k,n\in \mathbb{N}$ forment une base hilbertienne de $H\times H$)

Montrer qu'en fait cette égalité est vraie pour tout $(t,x)$.

4) En calculant $\Vert K{\Vert }_2^2$ de deux manières, en déduire que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$. Modèle:Solution