Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert

Exercice 7-1

Soient $H$ un espace de Hilbert et $T$ un Modèle:W sur $H$, c'est-à-dire $T{T}^{*}=T^{*}T$.

1. Montrer que $\ker T=\ker T^{*}=(\mathrm{im}T{)}^{\mathrm{\perp }}$.
2. En déduire que $T$ est inversible si et seulement s'il existe une constante $C$ telle que : $\Vert Tx\Vert \ge C\Vert x\Vert$ pour tout $x\in H$.

Exercice 7-2

Soient $H$ un espace de Hilbert et $T$ un opérateur positif, c'est-à-dire : pour tout $x\in H$, $⟨Tx,x⟩\ge 0$.

1. Montrer, pour tous $x\in \ker T$, $y\in H$ et $t\in ℝ$, que $t⟨Ty,ty-x⟩\ge 0$. En déduire que $\ker T\subset (\mathrm{im}T{)}^{\mathrm{\perp }}$.
2. En considérant $T^{*}$, montrer que $\ker T=(\mathrm{im}T{)}^{\mathrm{\perp }}$.
3. En utilisant le Modèle:W, montrer que $\mathrm{I}+tT$ est bijectif pour tout $t\ge 0$.

Exercice 7-3

Modèle:Wikipédia Notons $\mathrm{\Omega }$ l'ouvert $]0,+\mathrm{\infty }[$ (donc $\bar{\mathrm{\Omega }}={ℝ}_{+}$). On définit son espace de Sobolev $H^1$ comme étant l'espace de Hilbert

$H^1:=\{u\in {\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega })\mid Du\in {\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega })\}$

(où $Du$ est la dérivée de $u$ au sens des distributions), muni du produit scalaire

$⟨u,v⟩:=⟨u,v{⟩}_2+⟨u^{\prime },v^{\prime }{⟩}_2$.

1. Montrer que :
   • $\mathrm{\forall }u\in H^{1}u\in C_0(\bar{\mathrm{\Omega }})\mathrm{e}\mathrm{t}\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert u{\Vert }_{H^1}$ ;
   • $\mathrm{\forall }u,v\in H^1\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(uDv+vDu)=-u(0)v(0)$ (« formule d'intégration par parties »).
2. Montrer que par ailleurs, le sous-espace $C_c^{\mathrm{\infty }}(\bar{\mathrm{\Omega }})=𝒟({ℝ}_{+})$ ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions CModèle:Exp à support compact]]) est dense dans $H^1$.

Exercice 7-4

On reprend les notations de l'exercice précédent, et les résultats de la question 1.

1. Montrer qu'il existe un opérateur $K$ sur $H^1$ tel que pour tous $u,v\in H^1$, $⟨Ku,v⟩=u(0)v(0)$.
2. Montrer que $K$ est autoadjoint et de rang 1.
3. Soit $f\in {\mathrm{L}}^2({ℝ}_{+})$. On considère le problème suivant : trouver $u$ tel que $\{\begin{array}{c}-u^{″}+u=f\\ u^{\prime }(0)+\alpha u(0)=0.\end{array}$
   En intégrant contre une fonction test $v\in 𝒟({ℝ}_{+})$, mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
   $\underset{{ℝ}_{+}}{\int }(u^{\prime }{v}^{\prime }+uv)-\alpha u(0)v(0)=\underset{{ℝ}_{+}}{\int }fv$.
4. En utilisant l'Modèle:W, montrer qu'il admet une unique solution $u$ dans $H^1$ si et seulement si $\alpha \ne 1$.

Exercice 7-5

Modèle:Wikipédia Soient $H$ un espace de Hilbert et $T$ un opérateur sur $H$ de norme ≤ 1. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note

$T_n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{T}^k$.

1. Soit $x\in H$ tel que $⟨Tx,x⟩=\Vert x{\Vert }^2$. Montrer que $Tx=x$.
2. Montrer que $\ker (\mathrm{i}\mathrm{d}-T)=\ker (\mathrm{i}\mathrm{d}-T^{*})$.
3. En déduire que $H=\ker (\mathrm{i}\mathrm{d}-T)\oplus \overline{\mathrm{im}(\mathrm{i}\mathrm{d}-T)}$.
4. Montrer que $\lim \Vert T_n(x)\Vert =0$ pour tout $x\in \mathrm{im}(\mathrm{i}\mathrm{d}-T)$, puis pour tout $x\in \overline{\mathrm{im}(\mathrm{i}\mathrm{d}-T)}$.
5. Soit $P$ la projection orthogonale sur $\ker (\mathrm{i}\mathrm{d}-T)$. Montrer que pour tout $x\in H$, $\lim \Vert T_n(x)-P(x)\Vert =0$.
6. Application. Soient $H={\mathrm{L}}^2(ℝ/2\pi \mathbb{Z})$ et $\alpha \in ℝ\setminus (2\pi \mathbb{Q})$.
   Montrer que pour tout $f\in H$, $\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^{n}f(\cdot +n\alpha )\to m(f)$ dans $H$, où $m(f)$ est la fonction constante égale à $\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

Exercice 7-6

Soit $H$ un espace de Hilbert. Montrer qu'une suite $(x_n)$ converge dans $H$ si et seulement si $\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{\lim }⟨x_m,x_n⟩$ existe. Modèle:Solution