Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes

Exercice 3-1

On désigne par ${\omega }_1$, ${\omega }_2$ et ${\omega }_3$ les trois racines cubiques de $-1$ et l'on note ${𝒟}_k:=\{t{\omega }_k\mid t\in ℝ,t\ge \sqrt[3]{2}\}$ pour $k=1,2,3$. On pose $G:=ℂ\setminus ({𝒟}_1\cup {𝒟}_2\cup {𝒟}_3)$.

1. Montrer que $G$ est un domaine de $ℂ$ tel que si $z\in G$ alors $z^3+2\in {\mathrm{\Omega }}_0:=ℂ\setminus {ℝ}_{-}$ et que l'application holomorphe $g:G\to {\mathrm{\Omega }}_0,z\mapsto z^3+2$ est surjective.
2. On désignera par $\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}$ la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine ${\mathrm{\Omega }}_0$.
   Calculer la dérivée de la fonction holomorphe $f:=\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\circ g$.
3. Écrire le développement en série entière de $f$ au voisinage de $0$ en précisant son rayon de convergence.

Exercice 3-2

Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque ${𝔻}_r:=\{z\in ℂ\mid |z|<r\}$ avec $r>1$.

1. Démontrer les propriétés suivantes :
   1. $f(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)}{1-z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}\mathrm{d}\theta$ si $|z|<1$ ;
   2. $\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)\bar{z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}{1-\bar{z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\mathrm{d}\theta =0$ si $|z|<1$.
2. 1. Vérifier que si $|z|<1$ et $|\zeta |=1$, on a la relation suivante :

      $\frac{1}{1-z\bar{\zeta }}+\frac{\bar{z}\zeta }{1-\bar{z}\zeta }=\frac{1-|z{|}^2}{|1-\bar{z}\zeta {|}^2}$.

   2. Démontrer la formule suivante :

      $f(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)\frac{1-|z{|}^2}{{|1-z{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }|}^2}\mathrm{d}\theta$ si $|z|<1$.

3. Montrer que cette formule reste valable si $f$ est holomorphe sur $𝔻:={𝔻}_1$ et continue sur $\overline{𝔻}$ (considérer, pour $r>1$, la fonction $f_r(z):=f(z/r)$).
4. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $𝔻$ et continue sur $\overline{𝔻}$ telle que $\overline{f(z)}=f(z)$ si $|z|=1$. Que peut-on dire de $f$ ?

Exercice 3-3

Soient $P,Q\in ℂ[z]$ deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle $R$ en posant

$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ si $z\in ℂ\setminus \{b_1,\dots ,b_q\}$

où $b_1,\dots ,b_q$ sont les pôles de $R$, c'est-à-dire les zéros de $Q$.

On désignera par $\overline{ℂ}:=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : $\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }$ et $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$.

1. 1. Montrer que $R$ se prolonge en une application continue de $\overline{ℂ}$ dans $\overline{ℂ}$, que l'on notera encore $R$. Quelles sont les images des pôles $b_1,\dots ,b_q$ par le prolongement $R$ ?
   2. Rappeler pourquoi deux fractions rationnelles $R_1$ et $R_2$ qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de $ℂ$, coïncident partout sur $ℂ$.

      Dans toute la suite, on suppose que $R$ est une fraction rationnelle de la variable complexe $z$ vérifiant la propriété suivante :

      $(*)|R(z)|=1$ si $|z|=1$.

2. Pour chaque point $a\in ℂ$, on pose

   ${\phi }_a(z):=\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\text{et}{\phi }_{\mathrm{\infty }}(z):=\frac{1}{z},\mathrm{\forall }z\in \overline{ℂ}$.

   On suppose dans cette question que $R$ est une homographie $h$ qui vérifie $(*)$. Montrer qu'il existe $\alpha \in ℝ$ et $a\in \overline{ℂ}$ tels que $h(z)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }{\phi }_a(z)$ pour tout $z\in \overline{ℂ}$.

3. On revient au cas général d'une fraction rationnelle $R$ vérifiant $(*)$ et l'on définit la fonction suivante :

   $S(z):=\frac{1}{\bar{R}(1/\bar{z})},\mathrm{\forall }z\in \overline{ℂ}$

   où $\bar{R}(w)$ désigne le conjugué de $R(w)$. Montrer que $S$ est une fraction rationnelle de la variable complexe $z$ vérifiant $S(z)=R(z)$ pour $|z|=1$. Comparer $S$ et $R$ sur $ℂ$.

4. 1. Montrer qu'un élément $a\in ℂ\setminus \{0\}$ est un zéro de $R$ si et seulement si $1/\bar{a}$ est un pôle de $R$. Interpréter géométriquement ce résultat.
   2. Montrer que si $R(0)\ne 0$ et $R(0)\ne \mathrm{\infty }$, alors il existe $\alpha \in ℝ$ tel que $R$ s'écrive sous la forme

      $R(z)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }\prod _{k=1}^m\frac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z},\mathrm{\forall }z\in \overline{ℂ}$

      où $a_1,\dots ,a_m$ sont les zéros de $R$ comptés avec leur multiplicité.

5. Déterminer toutes les fractions rationnelles qui vérifient $(*)$.