Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Trigonométrie complexe

Exercice 2-1

On étend la fonction $x\mapsto \cos x$, pour $x\in ℝ$, à $z$ complexe en posant :

$\mathrm{\forall }z\in ℂ\cos z=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z})$.

1. Soient $a,b\in ℝ$ et $z=a+\mathrm{i}b$. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de $\cos z$ en fonction de $a$ et $b$.
2. Résoudre l'équation $\cos z=0$, $z\in ℂ$.